Encontre a equação da elipse de focos F1=(1,1), F2=(-1,1) e 2 a=4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da elipse que tem os focos em F1=(1,1) e F2=(-1,1) . Além disso, sabemos que 2a = 4 , onde a é o semi-eixo maior da elipse. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de elipse e algumas propriedades geométricas relacionadas aos seus focos e eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o valor de a . Sabemos que 2a = 4 , então:
a = 42 = 2
Isso significa que o semi-eixo maior da elipse tem comprimento 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos, que é a distância entre F1=(1,1) e F2=(-1,1) . Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
c = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
c = raiz(-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2 = raiz(-2)^2 + 0 = raiz4 = 2
Então, a distância entre os focos é 2c = 2 . Assim, c = 1 .

Passo 4

Sabemos que em uma elipse, a relação entre a , b e c é dada pela equação:
c^2 = a^2 - b^2
Já encontramos que a = 2 e c = 1 . Vamos substituir esses valores para encontrar b :
1^2 = 2^2 - b^2 1 = 4 - b^2 b^2 = 4 - 1 b^2 = 3
Portanto, b = raiz3 .

Passo 5

Agora, precisamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em F1=(1,1) e F2=(-1,1) , o centro é o ponto médio entre eles. A fórmula para o ponto médio é:
( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo:
( 1 + (-1)2, 1 + 12 ) = (0, 1)
Portanto, o centro da elipse é (0,1) .

Passo 6

Observando os focos, vemos que eles estão alinhados horizontalmente, já que ambos têm coordenada y=1 . Isso significa que o eixo maior da elipse está horizontal. Assim, a equação padrão da elipse com centro em (h,k) e eixo maior horizontal é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores que encontramos: h=0 , k=1 , a=2 , e b=raiz3 :
(x - 0)^22^2 + (y - 1)^23 = 1 x^24 + (y - 1)^23 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^24 + (y - 1)^23 = 1

Exercícios relacionados