Encontre a equação da elipse de focos
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da elipse que tem os focos em
e
. Além disso, sabemos que
, onde
é o semi-eixo maior da elipse. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de elipse e algumas propriedades geométricas relacionadas aos seus focos e eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o valor de
. Sabemos que
, então:
Isso significa que o semi-eixo maior da elipse tem comprimento 2.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos, que é a distância entre
e
. Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então, a distância entre os focos é
. Assim,
.
Passo 4
Sabemos que em uma elipse, a relação entre
,
e
é dada pela equação:
Já encontramos que
e
. Vamos substituir esses valores para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, precisamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em
e
, o centro é o ponto médio entre eles. A fórmula para o ponto médio é:
Substituindo:
Portanto, o centro da elipse é
.
Passo 6
Observando os focos, vemos que eles estão alinhados horizontalmente, já que ambos têm coordenada
. Isso significa que o eixo maior da elipse está horizontal. Assim, a equação padrão da elipse com centro em
e eixo maior horizontal é:
Substituindo os valores que encontramos:
,
,
, e
:
Resposta
A equação da elipse é: