Encontre a equação da parábola com foco
e reta diretriz
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de uma parábola sabendo que o foco é
e a reta diretriz é
. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com propriedades de parábolas. Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, entendamos que qualquer ponto
na parábola tem a mesma distância até o foco
e até a diretriz
. Vamos expressar isso matematicamente. A distância entre
e
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 3
Já a distância de
até a reta diretriz
é a distância de
até essa reta vertical, que é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas
de
e da diretriz:
Passo 4
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, podemos escrever a equação:
Passo 5
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando os dois lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
Passo 7
Simplificando os termos, podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 8
Vamos reunir os termos semelhantes:
Passo 9
Podemos reescrever essa equação isolando
:
Passo 10
Para simplificar, completamos o quadrado para o termo
. Primeiro, tomamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado, ou seja,
. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Resposta
A equação da parábola é
.