Encontre a equação da parábola com foco F=(1,2) e reta diretriz r: x=-1.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de uma parábola sabendo que o foco é F = (1, 2) e a reta diretriz é r: x = -1 . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com propriedades de parábolas. Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, entendamos que qualquer ponto P(x, y) na parábola tem a mesma distância até o foco F e até a diretriz r . Vamos expressar isso matematicamente. A distância entre P(x, y) e F(1, 2) é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
raiz(x - 1)^2 + (y - 2)^2

Passo 3

Já a distância de P(x, y) até a reta diretriz r: x = -1 é a distância de P até essa reta vertical, que é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas x de P e da diretriz:
|x - (-1)| = |x + 1|

Passo 4

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, podemos escrever a equação:
raiz(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = |x + 1|

Passo 5

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando os dois lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x + 1)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1

Passo 7

Simplificando os termos, podemos cancelar x^2 de ambos os lados:
-2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 2x + 1

Passo 8

Vamos reunir os termos semelhantes:
y^2 - 4y + 5 - 2x = 2x + 1
y^2 - 4y + 5 - 2x - 2x - 1 = 0
y^2 - 4y + 4 - 4x = 0

Passo 9

Podemos reescrever essa equação isolando y^2 :
y^2 - 4y = 4x - 4

Passo 10

Para simplificar, completamos o quadrado para o termo y . Primeiro, tomamos o coeficiente de y , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado, ou seja, (-4/2)^2 = 4 . Adicionamos e subtraímos esse valor:
y^2 - 4y + 4 = 4x - 4 + 4
(y - 2)^2 = 4x

Resposta

A equação da parábola é (y - 2)^2 = 4x .

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