Mostre que:
8 mid 9^n+7, forall n in N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 8 divide 9^n + 7 para todo ninN. O conteúdo envolve teoria de divisibilidade e o princípio de indução matemática. Vamos usar o método de indução para estabelecer a propriedade.

Passo 2

Caso base n=1. Temos
9^1 + 7 = 16
e 16 é múltiplo de 8 pois 16 = 8 times 2. Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para certo kinN seja verdade que
8 mid 9^k + 7,
isto é, exista minZ tal que
9^k + 7 = 8m

Passo 4

Passo indutivo. Precisamos mostrar que 8mid 9^k+1+7. Observe que
9^k+1+7 = 9cdot 9^k + 7
Usando 9^k + 7 = 8m obtemos
9^k+1+7 = 9,(9^k + 7) - 56 = 9cdot (8m) - 56 = 8,(9m - 7)
Assim 9^k+1+7 é múltiplo de 8.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade vale para n=1 e do fato de que n=k implica n=k+1, concluímos que
8 mid 9^n + 7
para todo ninN.

Resposta

Concluímos que, para todo ninN, vale
8 mid 9^n + 7

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