Encontre a equação da elipse:
que possui centro em (-1,1), um foco em (2,-1) e passa pelo ponto (2,1);

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Centro da elipse: (-1,1).
  • Um foco da elipse: (2,-1).
  • A elipse passa pelo ponto: (2,1).
O que se pede: encontrar a equação da elipse (equação em x e y) que satisfaz essas condições.
Informações relevantes extraídas dos dados acima que serão usadas depois:
  • A outra foco está simetricamente oposto ao foco dado em relação ao centro (portanto pode ser obtido por reflexão).
  • Para a elipse vale a relação entre semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e semi-distância focal c: \displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}.
  • A elipse pode estar rotacionada; então é conveniente trabalhar com coordenadas ao longo do eixo maior e do eixo menor (projeções do vetor posição no sistema de eixos alinhado com a elipse).

Passo 2

Encontrar o outro foco e a distância focal c.
Explicação teórica curta (fácil): os dois focos são simétricos em relação ao centro C. Se o centro é C=(h,k) e um foco é F_1, o outro foco F_2 é F_2 = 2C - F_1 (isso vem da reflexão vetorial).
Aplicando aos números:
  • Centro C = (-1,1).
  • Foco dado F_1 = (2,-1).
Calcular F_2:
F_2 = 2C - F_1 = 2(-1,1) - (2,-1) = (-2,2) - (2,-1) = (-4,3).
Agora calcular c, ou seja, a semi-distância do centro a cada foco: c = \text{dist}(C,F_1).
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos \bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr):
\text{dist} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aqui:
c = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}.
Logo
c^{2}=13.

Passo 3

Usar a definição da elipse (soma das distâncias aos focos é constante) para obter a.
Explicação teórica curta: para uma elipse, para qualquer ponto P sobre ela vale
\text{dist}(P,F_1) + \text{dist}(P,F_2) = 2a,
onde a é o semi-eixo maior.
Tomamos o ponto dado P=(2,1). Calculamos as duas distâncias.
Distância de P a F_1=(2,-1):
\text{dist}(P,F_1)=\sqrt{(2-2)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{0^2+2^2}=2.
Distância de P a F_2=(-4,3):
\text{dist}(P,F_2)=\sqrt{(2-(-4))^2+(1-3)^2}=\sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Somando:
2a = 2 + 2\sqrt{10} = 2(1+\sqrt{10}) \quad\Rightarrow\quad a = 1+\sqrt{10}.
Calcular a^{2}:
a^{2}=(1+\sqrt{10})^{2}=1 + 2\sqrt{10} + 10 = 11 + 2\sqrt{10}.

Passo 4

Achar b^{2} usando a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Substituindo os valores já encontrados:
b^{2}=a^{2}-c^{2}=(11 + 2\sqrt{10}) - 13 = -2 + 2\sqrt{10} = 2(\sqrt{10}-1).
Conferir que b^{2}>0: como \sqrt{10}\approx 3{,}162, temos b^{2}\approx 4{,}324>0. Tudo consistente.

Passo 5

Escolher sistema de coordenadas alinhado com os eixos da elipse e escrever a equação em coordenadas rotacionadas.
Explicação teórica (bem prática): a elipse tem eixo maior na direção que vai do centro ao foco. Esse vetor (do centro ao foco) é
\vec{u} = F_1 - C = (2-(-1),\,-1-1) = (3,-2).
Esse é o eixo principal (direção dos focos). Para escrever a equação, vamos projetar o vetor posição (x,y) em torno do centro sobre duas direções ortogonais: a direção do eixo maior \vec{u} e uma direção perpendicular \vec{v}.
Normalizamos (não é obrigatório normalizar, mas facilita a forma canônica):
  • Norma de \vec{u} é \sqrt{13}.
  • Um vetor ortogonal a \vec{u} é \vec{v}=(2,3) (pois 3\cdot2+(-2)\cdot3=6-6=0). Norma de \vec{v} também é \sqrt{13}.
Definimos as coordenadas rotacionadas (projeções) de um ponto (x,y) em relação ao centro C=(-1,1):
X = \frac{(x+1,\,y-1)\cdot(3,-2)}{\sqrt{13}}=\frac{3(x+1)-2(y-1)}{\sqrt{13}},
Y = \frac{(x+1,\,y-1)\cdot(2,3)}{\sqrt{13}}=\frac{2(x+1)+3(y-1)}{\sqrt{13}}.
Aqui explicando: (x+1,y-1) é o vetor que vai do centro ao ponto (x,y); fazemos produto escalar com \vec{u} e \vec{v} e dividimos por \sqrt{13} para obter as coordenadas nos eixos unitários ao longo do eixo maior e menor.
Para simplificar as expressões lineares no numerador, definimos:
A(x,y)=3(x+1)-2(y-1)=3x-2y+5,
B(x,y)=2(x+1)+3(y-1)=2x+3y-1.
Então
X=\frac{A(x,y)}{\sqrt{13}},\qquad Y=\frac{B(x,y)}{\sqrt{13}}.

Passo 6

Escrever a equação canônica da elipse nas coordenadas (X,Y) e voltar para x,y.
Na forma canônica (eixos alinhados com (X,Y)):
\frac{X^{2}}{a^{2}}+\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1.
Substituindo X e Y em termos de x,y:
\frac{\bigl(\dfrac{A(x,y)}{\sqrt{13}}\bigr)^{2}}{a^{2}}+\frac{\bigl(\dfrac{B(x,y)}{\sqrt{13}}\bigr)^{2}}{b^{2}}=1.
Isto é
\frac{A(x,y)^{2}}{13\,a^{2}}+\frac{B(x,y)^{2}}{13\,b^{2}}=1.
Agora substituímos os valores numéricos de a^{2} e b^{2} que já obtivemos:
a^{2}=11+2\sqrt{10},\qquad b^{2}=2(\sqrt{10}-1).
Portanto a equação final, escrita de forma limpa, é
\frac{(3x-2y+5)^{2}}{13(11+2\sqrt{10})}+\frac{(2x+3y-1)^{2}}{13\cdot 2(\sqrt{10}-1)}=1.
Se preferir, pode-se também escrever os denominadores multiplicados:
\frac{(3x-2y+5)^{2}}{143+26\sqrt{10}}+\frac{(2x+3y-1)^{2}}{26\sqrt{10}-26}=1,
que é equivalente à expressão anterior.

Resposta

\frac{(3x-2y+5)^{2}}{13(11+2\sqrt{10})}+\frac{(2x+3y-1)^{2}}{13\cdot 2(\sqrt{10}-1)}=1

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