Encontre a equação da elipse:
que possui centro em
, um foco em
e passa pelo ponto
;
que possui centro em
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Centro da elipse:
. - Um foco da elipse:
. - A elipse passa pelo ponto:
.
O que se pede: encontrar a equação da elipse (equação em
e
) que satisfaz essas condições.
Informações relevantes extraídas dos dados acima que serão usadas depois:
- A outra foco está simetricamente oposto ao foco dado em relação ao centro (portanto pode ser obtido por reflexão).
- Para a elipse vale a relação entre semi-eixo maior
, semi-eixo menor e semi-distância focal : . - A elipse pode estar rotacionada; então é conveniente trabalhar com coordenadas ao longo do eixo maior e do eixo menor (projeções do vetor posição no sistema de eixos alinhado com a elipse).
Passo 2
Encontrar o outro foco e a distância focal
.
Explicação teórica curta (fácil): os dois focos são simétricos em relação ao centro
. Se o centro é
e um foco é
, o outro foco
é
(isso vem da reflexão vetorial).
Aplicando aos números:
- Centro
. - Foco dado
.
Calcular
:
Agora calcular
, ou seja, a semi-distância do centro a cada foco:
.
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos :
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos
Aqui:
Logo
Passo 3
Usar a definição da elipse (soma das distâncias aos focos é constante) para obter
.
Explicação teórica curta: para uma elipse, para qualquer ponto
sobre ela vale
onde
é o semi-eixo maior.
Tomamos o ponto dado
. Calculamos as duas distâncias.
Distância de
a
:
Distância de
a
:
Somando:
Calcular
:
Passo 4
Achar
usando
.
Substituindo os valores já encontrados:
Conferir que
: como
, temos
. Tudo consistente.
Passo 5
Escolher sistema de coordenadas alinhado com os eixos da elipse e escrever a equação em coordenadas rotacionadas.
Explicação teórica (bem prática): a elipse tem eixo maior na direção que vai do centro ao foco. Esse vetor (do centro ao foco) é
Esse é o eixo principal (direção dos focos). Para escrever a equação, vamos projetar o vetor posição
em torno do centro sobre duas direções ortogonais: a direção do eixo maior
e uma direção perpendicular
.
Normalizamos (não é obrigatório normalizar, mas facilita a forma canônica):
- Norma de
é . - Um vetor ortogonal a
é (pois ). Norma de também é .
Definimos as coordenadas rotacionadas (projeções) de um ponto
em relação ao centro
:
Aqui explicando:
é o vetor que vai do centro ao ponto
; fazemos produto escalar com
e
e dividimos por
para obter as coordenadas nos eixos unitários ao longo do eixo maior e menor.
Para simplificar as expressões lineares no numerador, definimos:
Então
Passo 6
Escrever a equação canônica da elipse nas coordenadas
e voltar para
.
Na forma canônica (eixos alinhados com
):
Substituindo
e
em termos de
:
Isto é
Agora substituímos os valores numéricos de
e
que já obtivemos:
Portanto a equação final, escrita de forma limpa, é
Se preferir, pode-se também escrever os denominadores multiplicados:
que é equivalente à expressão anterior.