Verifique que a equação 9 x^{2}+y^{2}+90 x-4 y+220=0 representa uma elipse, encontre seu centro, focos, vértices e a excentricidade. Faça também o gráfico da elipse.

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^{2}+y^{2}+90x-4y+220=0
e pede várias coisas:
  • Verificar que essa equação representa uma elipse.
  • Encontrar o centro da elipse.
  • Encontrar os focos.
  • Encontrar os vértices.
  • Calcular a excentricidade.
  • Fazer o gráfico da elipse (ou dar elementos suficientes para desenhá-la).
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 9 para x^{2} e 1 para y^{2}.
  • Termos lineares: 90x e -4y.
  • Termo constante: 220.

Passo 2

Primeiro objetivo: transformar a equação em forma padrão (canônica) da elipse através de completar quadrados. Agrupo os termos em x e em y:
9x^{2}+90x \quad\text{e}\quad y^{2}-4y.
Fatorando o 9 do bloco em x:
9x^{2}+90x = 9\bigl(x^{2}+10x\bigr).
Agora completo o quadrado dentro dos parênteses: x^{2}+10x = (x+5)^{2}-25. Portanto
9\bigl(x^{2}+10x\bigr) = 9\bigl((x+5)^{2}-25\bigr)=9(x+5)^{2}-225.
Para y:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Substituo esses resultados na equação original:
\bigl[9(x+5)^{2}-225\bigr] + \bigl[(y-2)^{2}-4\bigr] + 220 = 0.
Somando as constantes: -225-4+220=-9. Assim:
9(x+5)^{2}+(y-2)^{2}-9=0.

Passo 3

Isolo os termos quadráticos e coloco no lado esquerdo:
9(x+5)^{2}+(y-2)^{2}=9.
Divido ambos os lados por 9 para obter a forma padrão:
\frac{(x+5)^{2}}{1}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.
Esta é a forma canônica de uma elipse centrada em (-5,2). Aqui cada denominador representa um quadrado de semi-eixo:
  • \displaystyle b^{2}=1 (direção x),
  • \displaystyle a^{2}=9 (direção y).
Importante: a maior denominação está embaixo do termo envolvendo y, logo a semi‑maior a está na direção vertical. Em termos práticos:
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{1}=1.

Passo 4

Relembrando conceitos (mini-aula):
  • A forma padrão de uma elipse centrada em (h,k) alinhada com os eixos é
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1
quando o eixo maior é vertical (ou trocando a e b se o maior for horizontal). Aqui a é o semi-eixo maior, b o semi-eixo menor.
  • Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo maior.
  • Os co-vértices ficam a uma distância b do centro ao longo do eixo menor.
  • A distância focal c satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
  • A excentricidade é
e=\frac{c}{a},\qquad 0<e<1\\ \text{para elipses}.
Aplicando essas fórmulas ao caso:
a^{2}=9,\quad b^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad c^{2}=9-1=8,\quad c=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Determinar centro, vértices e focos explicitamente a partir da forma canônica \dfrac{(x+5)^{2}}{1}+\dfrac{(y-2)^{2}}{9}=1.
Centro:
(h,k)=(-5,2).
Vértices (eixo maior vertical): adiciona/subtrai a=3 na coordenada y:
\text{Vértices: }(-5,\,2+3)=(-5,5)\quad\text{e}\quad(-5,\,2-3)=(-5,-1).é
Co-vértices (eixo menor horizontal): adiciona/subtrai b=1 na coordenada x:
\text{Co-vértices: }(-5+1,\,2)=(-4,2)\quad\text{e}\quad(-5-1,\,2)=(-6,2).é
Focos (na direção do eixo maior, vertical, a uma distância c do centro):
\text{Focos: }(-5,\,2+2\sqrt{2})\quad\text{e}\quad(-5,\,2-2\sqrt{2}).
Excentricidade (já calculada):
e=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx0,943.

Passo 6

Parâmetros e pontos para desenhar o gráfico (mini-aula e receita para desenhar na prova sem calculadora):
  • Uma parametrização simples da elipse (como soma de cosseno e seno) é
x=-5+\cos t,\qquad y=2+3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Isto vem de substituir \cos t e \sin t na forma \dfrac{(x+5)^{2}}{1}+\dfrac{(y-2)^{2}}{9}=1.
  • Pontos-chave (fáceis de traçar à mão):
    • t=0: (x,y)=(-4,2) (co-vértice direito).
    • t=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(-5,5) (vértice superior).
    • t=\pi: (x,y)=(-6,2) (co-vértice esquerdo).
    • t=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=(-5,-1) (vértice inferior).
  • Alguns pontos intermediários úteis (para deixar o desenho mais redondo):
    • t=\tfrac{\pi}{4}: \bigl(-5+\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,2+\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)\approx(-4{,}293,\,4{,}121).
    • t=\tfrac{3\pi}{4}: \bigl(-5-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,2+\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)\approx(-5{,}707,\,4{,}121).
    • t=\tfrac{5\pi}{4}: \bigl(-5-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,2-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)\approx(-5{,}707,\,-0{,}121).
    • t=\tfrac{7\pi}{4}: \bigl(-5+\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,2-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)\approx(-4{,}293,\,-0{,}121).
Modo rápido de desenhar à mão:
  1. Desenhe o eixo cartesiano e marque o centro em (-5,2).
  2. Marque os vértices (-5,5) e (-5,-1).
  3. Marque os co-vértices (-4,2) e (-6,2).
  4. Marque os focos (-5,\,2\pm2\sqrt{2}) dentro da elipse.
  5. Esboce uma curva suave que passe pelos vértices e co-vértices, mantendo simetria em torno do centro.
Se preferir plotar no computador, uma sugestão em Python/Matplotlib (copiar e colar num ambiente com Python):
\text{# Python pseudo-código:}ó
\text{import numpy as np}
\text{import matplotlib.pyplot as plt}
\text{t = np.linspace(0,2*np.pi,400)}
\text{x = -5 + np.cos(t)}
\text{y = 2 + 3*np.sin(t)}
\text{plt.plot(x,y); plt.scatter([-5,-5,-4,-6], [5,-1,2,2]) ; plt.gca().set_aspect('equal')}
(Isto gera o gráfico exato da elipse.)

Resposta

Equação canônica: \displaystyle \frac{(x+5)^{2}}{1}+\frac{(y-2)^{9}}{9}=1
Centro: (-5,2)
Vértices: (-5,5) e (-5,-1)
Co-vértices: (-4,2) e (-6,2)
Focos: (-5,\,2+2\sqrt{2}) e (-5,\,2-2\sqrt{2})
Excentricidade: \displaystyle e=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx0{,}943

Exercícios relacionados