Verifique que a equação
representa uma elipse, encontre seu centro, focos, vértices e a excentricidade. Faça também o gráfico da elipse.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede várias coisas:
- Verificar que essa equação representa uma elipse.
- Encontrar o centro da elipse.
- Encontrar os focos.
- Encontrar os vértices.
- Calcular a excentricidade.
- Fazer o gráfico da elipse (ou dar elementos suficientes para desenhá-la).
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
para e para . - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Passo 2
Primeiro objetivo: transformar a equação em forma padrão (canônica) da elipse através de completar quadrados. Agrupo os termos em
e em
:
Fatorando o
do bloco em
:
Agora completo o quadrado dentro dos parênteses:
. Portanto
Para
:
Substituo esses resultados na equação original:
Somando as constantes:
. Assim:
Passo 3
Isolo os termos quadráticos e coloco no lado esquerdo:
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Esta é a forma canônica de uma elipse centrada em
. Aqui cada denominador representa um quadrado de semi-eixo:
-
(direção ), -
(direção ).
Importante: a maior denominação está embaixo do termo envolvendo
, logo a semi‑maior
está na direção vertical. Em termos práticos:
Passo 4
Relembrando conceitos (mini-aula):
- A forma padrão de uma elipse centrada em
alinhada com os eixos é
quando o eixo maior é vertical (ou trocando
e
se o maior for horizontal). Aqui
é o semi-eixo maior,
o semi-eixo menor.
- Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. - Os co-vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo menor. - A distância focal
satisfaz
- A excentricidade é
Aplicando essas fórmulas ao caso:
A excentricidade é
Passo 5
Determinar centro, vértices e focos explicitamente a partir da forma canônica
.
Centro:
Vértices (eixo maior vertical): adiciona/subtrai
na coordenada
:
Co-vértices (eixo menor horizontal): adiciona/subtrai
na coordenada
:
Focos (na direção do eixo maior, vertical, a uma distância
do centro):
Excentricidade (já calculada):
Passo 6
Parâmetros e pontos para desenhar o gráfico (mini-aula e receita para desenhar na prova sem calculadora):
- Uma parametrização simples da elipse (como soma de cosseno e seno) é
Isto vem de substituir
e
na forma
.
-
Pontos-chave (fáceis de traçar à mão):
-
: (co-vértice direito). -
: (vértice superior). -
: (co-vértice esquerdo). -
: (vértice inferior).
-
-
Alguns pontos intermediários úteis (para deixar o desenho mais redondo):
-
: . -
: . -
: . -
: .
-
Modo rápido de desenhar à mão:
- Desenhe o eixo cartesiano e marque o centro em
. - Marque os vértices
e . - Marque os co-vértices
e . - Marque os focos
dentro da elipse. - Esboce uma curva suave que passe pelos vértices e co-vértices, mantendo simetria em torno do centro.
Se preferir plotar no computador, uma sugestão em Python/Matplotlib (copiar e colar num ambiente com Python):
(Isto gera o gráfico exato da elipse.)
Resposta
Equação canônica:
Centro:
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
Centro:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade: