Determine o centro, os vértices, os focos e o comprimento dos eixos das elipses de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das elipses.
4 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+1=0.

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte equação de uma cônica:
4x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0.
O que nos pedem é:
  • Determinar o centro da elipse.
  • Determinar os vértices (pontos extremos sobre os eixos principais).
  • Determinar os focos.
  • Determinar os comprimentos dos eixos maior e menor.
  • Fazer um esboço da elipse.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é quadrática em x e y e apresenta termos em x^{2} e y^{2} com coeficientes positivos (sinal de elipse).
  • Há termos lineares em x e em y ( -8x e -2y), portanto devemos completar o quadrado para encontrar a forma padrão da elipse e seu centro.

Passo 2

Vamos completar o quadrado para pôr a equação na forma padrão. Agrupando os termos de x e de y:
4x^{2}-8x \quad\text{e}\quad y^{2}-2y.
Faço a completar o quadrado em cada grupo.
Para x:
4x^{2}-8x = 4\bigl(x^{2}-2x\bigr).
Completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Então
4\bigl(x^{2}-2x\bigr)=4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)=4(x-1)^{2}-4.
Para y:
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Agora substituo esses resultados na equação original:
\bigl[4(x-1)^{2}-4\bigr]+\bigl[(y-1)^{2}-1\bigr]+1=0.
Simplificando as constantes: -4-1+1=-4. Portanto
4(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-4=0,
ou
4(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.

Passo 3

Coloco em forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
\frac{4(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{(x-1)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1.
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em (h,k) com equação
\frac{(x-h)^{2}}{A}+\frac{(y-k)^{2}}{B}=1,
onde \sqrt{A} e \sqrt{B} são os semi-eixos nas direções x e y, respectivamente.
Comparando, vemos:
(h,k)=(1,1),\qquad A=1,\qquad B=4.
Os semi-eixos nas direções x e y são \sqrt{A}=1 (na horizontal) e \sqrt{B}=2 (na vertical).
Explicação didática rápida (para não confundir): a elipse aqui tem denominador maior sob o termo em y ( 4>1), portanto o eixo maior é vertical. Em geral:
  • semi-eixo horizontal: a_{x}=\sqrt{A},
  • semi-eixo vertical: a_{y}=\sqrt{B}.
    O semi-eixo maior (o maior entre a_{x} e a_{y}) é o semi-eixo a usualmente usado para achar os focos.

Passo 4

Identifico os semi-eixos e o semi-eixo maior/minor:
\text{semi-eixo horizontal }=\sqrt{A}= \sqrt{1}=1, \qquad \text{semi-eixo vertical }=\sqrt{B}= \sqrt{4}=2.
Logo o semi-eixo maior é 2 (vertical) e o semi-eixo menor é 1 (horizontal).
Vértices (extremos ao longo do eixo maior, vertical): partindo do centro (1,1) e somando/subtraindo o semi-eixo vertical:
\text{vértices: }\\ (1,\,1+2) \\ \text{e}\\ (1,\,1-2),é
ou seja,
\text{vértices: }\\ \bigl(1,3\bigr)\\ \text{e}\\ \bigl(1,-1\bigr).é
Co-vértices (extremos ao longo do eixo menor, horizontal): do centro somando/subtraindo o semi-eixo horizontal:
\text{co-vértices: }\\ (1+1,\,1)\\ \text{e}\\ (1-1,\,1),é
ou seja,
\text{co-vértices: }\\ \bigl(2,1\bigr)\\ \text{e}\\ \bigl(0,1\bigr).é

Passo 5

Agora determinamos os focos. Para uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b (aqui a=2 e b=1), a distância focal c a partir do centro satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Calculo:
c^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3, \qquad c=\sqrt{3}.
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam deslocados verticalmente a partir do centro (1,1):
\text{focos: }\\ \bigl(1,\,1+\sqrt{3}\bigr)\\ \text{e}\\ \bigl(1,\,1-\sqrt{3}\bigr).

Passo 6

Comprimentos dos eixos:
\text{comprimento do eixo maior }=2a=2\cdot 2=4, \qquad \text{comprimento do eixo menor }=2b=2\cdot 1=2.
Resumo numérico útil para esboço:
  • Centro: (1,1).
  • Vértices: (1,3) e (1,-1).
  • Co-vértices: (2,1) e (0,1).
  • Focos: \bigl(1,\,1+\sqrt{3}\bigr) e \bigl(1,\,1-\sqrt{3}\bigr), com \sqrt{3}\approx1{,}732.
  • Eixo maior de comprimento 4 (vertical), eixo menor de comprimento 2 (horizontal).

Passo 7

Esboço da elipse (indico pontos-chave para desenhar à mão e forneço um desenho aproximado em caracteres). Para desenhar: marque o centro (1,1), os vértices em (1,3) e (1,-1), os co-vértices em (2,1) e (0,1); desenhe uma curva suave passando por esses quatro pontos, alongada verticalmente. Os focos ficam dentro da elipse, em \bigl(1,\,1\pm\sqrt{3}\bigr).
Desenho aproximado (grade com eixos e pontos marcados — é apenas um esboço indicativo):
       y
        ↑
  4  .  
  3  .      V (1,3)
  2  .  
  1  .  (0,1)  C(1,1)  (2,1)
  0  .
 -1  .      V (1,-1)
     ----------------→ x
      0 1 2 3
Neste esboço:
  • C=( 1,1) é o centro.
  • V indica os vértices \bigl(1,3\bigr) e \bigl(1,-1\bigr).
  • Os pontos \bigl(0,1\bigr) e \bigl(2,1\bigr) são os co-vértices horizontais.
  • Os focos estão cerca de (1,\,1\pm1{,}732), isto é aproximadamente (1,\,2{,}732) e (1,\,-0{,}732), dentro da elipse ao longo do eixo vertical.

Resposta

Centro: \bigl(1,1\bigr)
Vértices: \bigl(1,3\bigr) e \bigl(1,-1\bigr)
Focos: \bigl(1,\,1+\sqrt{3}\bigr) e \bigl(1,\,1-\sqrt{3}\bigr)
Comprimento do eixo maior: 4
Comprimento do eixo menor: 2

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