Determine o centro, os vértices, os focos e o comprimento dos eixos das elipses de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das elipses.
.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte equação de uma cônica:
O que nos pedem é:
- Determinar o centro da elipse.
- Determinar os vértices (pontos extremos sobre os eixos principais).
- Determinar os focos.
- Determinar os comprimentos dos eixos maior e menor.
- Fazer um esboço da elipse.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é quadrática em
e e apresenta termos em e com coeficientes positivos (sinal de elipse). - Há termos lineares em
e em ( e ), portanto devemos completar o quadrado para encontrar a forma padrão da elipse e seu centro.
Passo 2
Vamos completar o quadrado para pôr a equação na forma padrão. Agrupando os termos de
e de
:
Faço a completar o quadrado em cada grupo.
Para
:
Completo o quadrado dentro do parêntese:
. Então
Para
:
Agora substituo esses resultados na equação original:
Simplificando as constantes:
. Portanto
ou
Passo 3
Coloco em forma padrão dividindo ambos os lados por
:
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em
com equação
onde
e
são os semi-eixos nas direções
e
, respectivamente.
Comparando, vemos:
Os semi-eixos nas direções
e
são
(na horizontal) e
(na vertical).
Explicação didática rápida (para não confundir): a elipse aqui tem denominador maior sob o termo em
(
), portanto o eixo maior é vertical. Em geral:
- semi-eixo horizontal:
, - semi-eixo vertical:
.
O semi-eixo maior (o maior entree ) é o semi-eixo usualmente usado para achar os focos.
Passo 4
Identifico os semi-eixos e o semi-eixo maior/minor:
Logo o semi-eixo maior é
(vertical) e o semi-eixo menor é
(horizontal).
Vértices (extremos ao longo do eixo maior, vertical): partindo do centro
e somando/subtraindo o semi-eixo vertical:
ou seja,
Co-vértices (extremos ao longo do eixo menor, horizontal): do centro somando/subtraindo o semi-eixo horizontal:
ou seja,
Passo 5
Agora determinamos os focos. Para uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
(aqui
e
), a distância focal
a partir do centro satisfaz
Calculo:
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam deslocados verticalmente a partir do centro
:
Passo 6
Comprimentos dos eixos:
Resumo numérico útil para esboço:
- Centro:
. - Vértices:
e . - Co-vértices:
e . - Focos:
e , com . - Eixo maior de comprimento
(vertical), eixo menor de comprimento (horizontal).
Passo 7
Esboço da elipse (indico pontos-chave para desenhar à mão e forneço um desenho aproximado em caracteres). Para desenhar: marque o centro
, os vértices em
e
, os co-vértices em
e
; desenhe uma curva suave passando por esses quatro pontos, alongada verticalmente. Os focos ficam dentro da elipse, em
.
Desenho aproximado (grade com eixos e pontos marcados — é apenas um esboço indicativo):
y
↑
4 .
3 . V (1,3)
2 .
1 . (0,1) C(1,1) (2,1)
0 .
-1 . V (1,-1)
----------------→ x
0 1 2 3
Neste esboço:
-
( ) é o centro. -
indica os vértices e . - Os pontos
e são os co-vértices horizontais. - Os focos estão cerca de
, isto é aproximadamente e , dentro da elipse ao longo do eixo vertical.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor:
Vértices:
Focos:
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor: