Encontre a equação geral da parábola que tenha foco F(2,-3) e vértice V(2,-2), em seguida esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação geral de uma parábola que tem o foco em e o vértice em . Vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente os conceitos sobre parábolas. Para resolver isso, vamos precisar entender a posição do foco e do vértice, além de usar a fórmula padrão da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção em que a parábola abre. Como o foco está diretamente abaixo do vértice (ambos têm a mesma coordenada x, que é 2), sabemos que a parábola abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula padrão da parábola com eixo vertical:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, é o vértice da parábola, e é a distância do vértice até o foco. Se for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.

Passo 4

Vamos identificar os valores:
  • Vértice p = yfoco - yvértice = -3 - (-2) = -1 , então e .
  • Foco , então a distância é a diferença entre as coordenadas y do foco e do vértice:
é
Como , confirma que a parábola abre para baixo.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula padrão:
(x - 2)^2 = 4 times (-1) times (y - (-2))
Simplificando:
(x - 2)^2 = -4(y + 2)

Passo 6

Agora, temos a equação geral da parábola:
(x - 2)^2 = -4(y + 2)
Essa é a equação que descreve a parábola com foco em e vértice em .

Resposta

A equação geral da parábola é . O gráfico dessa parábola abre para baixo com vértice em e foco em .

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