Encontre as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos
\left\{\begin{array}{l} \pi_{1}: x+y-z=2 \\\ \pi_{2}: 2 x-y+3 z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações paramétricas da reta de interseção entre os dois planos dados.
Informações fornecidas:
\pi_{1}: x+y-z=2
\pi_{2}: 2x-y+3z=1
O que é pedido: escrever a reta interseção em forma paramétrica, ou seja, encontrar expressões para x, y, z em função de um parâmetro (por exemplo t) que descrevam todos os pontos que pertencem simultaneamente a \pi_{1} e \pi_{2}.

Passo 2

Regra útil (explicação didática): a reta interseção de dois planos é formada pelos pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Essa reta pode ser determinada por:
  • um vetor diretor da reta, que é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos;
  • um ponto particular que satisfaça ambas as equações.
Como obter o vetor normal de um plano: se um plano tem equação A x + B y + C z = D, então um vetor normal é (A,B,C) — isso vem diretamente dos coeficientes das variáveis.
Pegando os normais dos dois planos dados:
\text{o normal de } \pi_{1} \text{ é } \mathbf{n}_1=(1,1,-1)é
\text{o normal de } \pi_{2} \text{ é } \mathbf{n}_2=(2,-1,3)é

Passo 3

Como encontrar o vetor diretor da reta: o vetor diretor \mathbf{v} da interseção é ortogonal a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2. O produto vetorial (cross product) \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 dá exatamente esse vetor.
Calculemos \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2:
\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}
Expandindo:
\mathbf{v} = \mathbf{i}(1\cdot3 - (-1)\cdot(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot3 - (-1)\cdot2) + \mathbf{k}(1\cdot(-1) - 1\cdot2)
\mathbf{v} = \mathbf{i}(3-1) - \mathbf{j}(3-(-2)) + \mathbf{k}(-1-2)
\mathbf{v} = \mathbf{i}\,2 - \mathbf{j}\,5 + \mathbf{k}(-3)
\mathbf{v} = (2,-5,-3)
Observação didática: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v} também serve como vetor diretor. Portanto (2,-5,-3) ou (-2,5,3) etc. são equivalentes para descrever a mesma reta.

Passo 4

Agora precisamos de um ponto particular que satisfaça as duas equações. Uma técnica prática é atribuir um valor simples a uma variável (por exemplo z=0) e resolver o sistema linear resultante para x e y.
Colocando z=0 nas equações:
x+y-0=2 \quad\Rightarrow\quad x+y=2
2x-y+3\cdot0=1 \quad\Rightarrow\quad 2x-y=1
Resolva esse sistema. Somando as duas equações:
(x+y)+(2x-y)=2+1 \quad\Rightarrow\quad 3x=3 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Substituindo x=1 em x+y=2:
1+y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Logo o ponto (1,1,0) pertence a ambos os planos e é um ponto da reta de interseção.

Passo 5

Montagem da forma paramétrica (explicação didática): a equação vetorial da reta com ponto \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) e vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
o que em coordenadas dá as equações paramétricas
x = x_0 + t\,v_x,\quad y = y_0 + t\,v_y,\quad z = z_0 + t\,v_z.
Usando o ponto (1,1,0) e o vetor diretor (-2,5,3) (escolhi o sinal trocado para evitar sinais negativos em x se preferir; é equivalente a usar (2,-5,-3)), obtemos:
x = 1 - 2t,
y = 1 + 5t,
z = 0 + 3t = 3t,
com t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (didática): ao substituir t=0 recupera-se o ponto (1,1,0); o vetor diretor (-2,5,3) é ortogonal aos normais:
( -2,5,3)\cdot(1,1,-1)= -2+5-3=0,
( -2,5,3)\cdot(2,-1,3)= -4-5+9=0,
portanto está correto.

Resposta

x=1-2t\
y=1+5t\
z=3t

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