Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico. 9 x^2-4 y^2-18 x-24 y-63=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da hipérbole:
9x^2 - 4y^2 - 18x - 24y - 63 = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Conic Sections, especificamente a hipérbole. Para resolver isso, precisamos completar o quadrado tanto para quanto para , reorganizar a equação na forma canônica da hipérbole e, a partir daí, identificar o centro, vértices, focos, assíntotas e esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 9x^2 - 18x - 4y^2 - 24y = 63 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9(x^2 - 2x) - 4(y^2 + 6y) = 63 e . Primeiro, fatoramos os coeficientes quadráticos:

Passo 4

Para completar o quadrado em 9[(x^2 - 2x + 1) - 1] - 4(y^2 + 6y) = 63 , a gente pega metade do coeficiente de 9(x - 1)^2 - 9 - 4(y^2 + 6y) = 63 , que é , divide por 2, ficando , e eleva ao quadrado, resultando em . Então adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para 9(x - 1)^2 - 9 - 4[(y^2 + 6y + 9) - 9] = 63 . Metade de 6 é 3, e 9(x - 1)^2 - 9 - 4(y + 3)^2 + 36 = 63 . Então adicionamos e subtraímos :
Simplificando:

Passo 6

Vamos juntar os constantes:
9(x - 1)^2 - 4(y + 3)^2 + 27 = 63
Subtraindo 27 de ambos os lados:
9(x - 1)^2 - 4(y + 3)^2 = 36

Passo 7

Para chegar à forma canônica, dividimos tudo por 36:
9(x - 1)^236 - 4(y + 3)^236 = 1
Simplificando as frações:
(x - 1)^24 - (y + 3)^29 = 1
Essa é a forma canônica da hipérbole.

Passo 8

Agora, vamos identificar os elementos da hipérbole:
  • Centro:
  • está no denominador do termo , então e
  • está no denominador do termo , então e
  • c (distância dos focos) é calculado por

Passo 9

Os vértices estão a uma distância de do centro ao longo do eixo (porque está positivo na equação canônica):
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:
Vértices imaginários não existem para hipérboles reais, então apenas temos os vértices reais.

Passo 10

Os focos estão a uma distância de do centro ao longo do eixo :
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Passo 11

As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima. A equação das assíntotas na forma canônica y - k = pm ba(x - h) são dadas por:
y + 3 = pm 32(x - 1)
Substituindo os valores:
y = 32(x - 1) - 3
Ou seja,
y = -32(x - 1) - 3

Passo 12

Finalmente, vamos esboçar o gráfico:
  1. Centro em
  2. Vértices em e
  3. Focos em e
  4. Assíntotas com inclinação e , passando pelo centro

Resposta

A equação da hipérbole na forma canônica é:
(x - 1)^24 - (y + 3)^29 = 1
Centro: y = 32(x - 1) - 3
Vértices: y = -32(x - 1) - 3 e
Focos: e
Assíntotas:
O esboço do gráfico mostra uma hipérbole horizontal com centro em , vértices a 2 unidades à esquerda e direita do centro, focos mais distantes ainda e assíntotas inclinadas passando pelo centro.

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