Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da hipérbole:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Conic Sections, especificamente a hipérbole. Para resolver isso, precisamos completar o quadrado tanto para
quanto para
, reorganizar a equação na forma canônica da hipérbole e, a partir daí, identificar o centro, vértices, focos, assíntotas e esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Primeiro, fatoramos os coeficientes quadráticos:
Passo 4
Para completar o quadrado em
, a gente pega metade do coeficiente de
, que é
, divide por 2, ficando
, e eleva ao quadrado, resultando em
. Então adicionamos e subtraímos
dentro do parêntese:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para
. Metade de 6 é 3, e
. Então adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos juntar os constantes:
Subtraindo 27 de ambos os lados:
Passo 7
Para chegar à forma canônica, dividimos tudo por 36:
Simplificando as frações:
Essa é a forma canônica da hipérbole.
Passo 8
Agora, vamos identificar os elementos da hipérbole:
- Centro:
- a² está no denominador do termo
, então e - b² está no denominador do termo
, então e - c (distância dos focos) é calculado por
Passo 9
Os vértices estão a uma distância de
do centro ao longo do eixo
(porque
está positivo na equação canônica):
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Vértices imaginários não existem para hipérboles reais, então apenas temos os vértices reais.
Passo 10
Os focos estão a uma distância de
do centro ao longo do eixo
:
- Foco 1:
- Foco 2:
Passo 11
As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima. A equação das assíntotas na forma canônica
são dadas por:
Substituindo os valores:
Ou seja,
Passo 12
Finalmente, vamos esboçar o gráfico:
- Centro em
- Vértices em
e - Focos em
e - Assíntotas com inclinação
e , passando pelo centro
Resposta
A equação da hipérbole na forma canônica é:
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
O esboço do gráfico mostra uma hipérbole horizontal com centro em
, vértices a 2 unidades à esquerda e direita do centro, focos mais distantes ainda e assíntotas inclinadas passando pelo centro.