Considere os números z1=2+3 i e z2=4-5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ): barz1 / z1, z1 / barz1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve operações com números complexos. Temos os números e (o conjugado de ). Precisamos encontrar:
Para isso, vamos utilizar propriedades dos números complexos e o processo de racionalização para simplificar as expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular barz1z1 = 2 - 3i2 + 3i .
Temos:
Para simplificar essa fração, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é . Isso ajuda a eliminar a parte imaginária do denominador.

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
2 - 3i2 + 3i times 2 - 3i2 - 3i = (2 - 3i)(2 - 3i)(2 + 3i)(2 - 3i)
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Calculando o numerador:
(2 - 3i)(2 - 3i) = 2 times 2 + 2 times (-3i) + (-3i) times 2 + (-3i) times (-3i)
= 4 - 6i - 6i + 9i^2
]
Como = 4 - 12i + 9(-1) = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i :

Passo 5

Calculando o denominador:
(2 + 3i)(2 - 3i) = 2 times 2 + 2 times (-3i) + 3i times 2 + 3i times (-3i)
]
= 4 - 6i + 6i - 9i^2
= 4 + 0i + 9 = 13

Passo 6

Agora, temos:
barz1z1 = -5 - 12i13 = -513 - 1213i

Passo 7

Agora, vamos calcular z1barz1 = 2 + 3i2 - 3i .
Temos:
Novamente, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é .

Passo 8

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
2 + 3i2 - 3i times 2 + 3i2 + 3i = (2 + 3i)(2 + 3i)(2 - 3i)(2 + 3i)
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 9

Calculando o numerador:
(2 + 3i)(2 + 3i) = 2 times 2 + 2 times 3i + 3i times 2 + 3i times 3i
= 4 + 6i + 6i + 9i^2
]
Como = 4 + 12i + 9(-1) = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i :

Passo 10

Calculando o denominador:
(2 - 3i)(2 + 3i) = 2 times 2 + 2 times 3i - 3i times 2 - 3i times 3i
= 4 + 6i - 6i - 9i^2
= 4 + 0i + 9 = 13

Passo 11

Agora, temos:
fracz1barz1 = -5 + 12i13 = -513 + 1213i

Resposta

barz1z1 = -513 - 1213i
z1barz1 = -513 + 1213i

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