No plano cartesiano:
(A) Representar graficamente os pontos
que satisfazem a relação
(B) Achar a área do polígono determinado pelas relações simultâneas:
Dica: Para verificar a sua resposta dos exercícios 11 e 12, utilize o geogebra.
(A) Representar graficamente os pontos
(B) Achar a área do polígono determinado pelas relações simultâneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte (A) pede para a gente representar no gráfico todos os pontos
que satisfazem a inequação
. A segunda parte (B) quer que a gente encontre a área de um polígono definido por várias inequações simultâneas. Para isso, vamos precisar entender de geometria analítica, especialmente de gráfico de inequações e de como calcular áreas de polígonos no plano.
Passo 2
Parte A: Vamos começar representando a inequação
no plano cartesiano. Primeiro, vamos transformar essa inequação em uma equação para facilitar o gráfico.
Essa é uma reta. Para traçá-la, vamos encontrar dois pontos que satisfazem essa equação.
Passo 3
Escolha valores para
e resolva para
:
-
Se
: Então, o ponto é. -
Se
: Então, o ponto é.
Passo 4
Com esses dois pontos, podemos desenhar a reta
. Agora, precisamos determinar de que lado da reta ficam os pontos que satisfazem a inequação
.
Passo 5
Escolha um ponto que não está na reta para testar. Vamos usar o ponto
:
Como a desigualdade é verdadeira para
, isso significa que a região que satisfaz
está abaixo da reta.
Passo 6
Então, na parte A, a representação gráfica é a região abaixo da reta
no plano cartesiano, sem incluir a própria reta (porque é “<” e não “≤”).
Passo 7
Parte B: Agora, vamos encontrar a área do polígono determinado pelas seguintes inequações simultâneas:
Primeiro, vamos entender cada inequação:
Passo 8
Vamos traçar cada uma dessas inequações no gráfico:
-
: É a região abaixo da reta . -
: Primeiramente, traçamos a reta e consideramos a região abaixo dela. -
: É a região à esquerda da linha vertical . -
: É a região acima do eixo .
Passo 9
Os pontos de interseção dessas retas vão formar os vértices do polígono. Vamos encontrar esses pontos:
- Interseção de
e :
Substituindo
em
:
Ponto:
- Interseção de
e :
Ponto:
- Interseção de
e :
Ponto:
- Interseção de
e :
Ponto:
- Interseção de
e :
Ponto:
Passo 10
Agora, vamos listar os vértices do polígono em ordem para calcular a área:
-
-
— Nota: Houve um erro anterior, pois com dá , então é um vértice. -
-
— Retornamos ao ponto inicial.
Na verdade, precisamos reconsiderar os pontos. A interseção correta das inequações define um polígono com vértices em
,
,
,
.
Passo 11
Para calcular a área desse polígono, podemos dividir em duas partes: um retângulo e um triângulo.
-
Retângulo: Entre
, , , - Base: 8 unidades
- Altura: 2 unidades
- Área:
-
Triângulo: Entre
, , - Podemos usar a fórmula da área de um triângulo com três pontos:
Substituindo:
- Podemos usar a fórmula da área de um triângulo com três pontos:
Passo 12
Somando as áreas das duas partes:
Resposta
A área do polígono determinado pelas relações simultâneas é
unidades quadradas.