No plano cartesiano:
(A) Representar graficamente os pontos (x, y) que satisfazem a relação x+2 y<6
(B) Achar a área do polígono determinado pelas relações simultâneas:
x-y >= 0 2 x+y <= 18 x <= 8 y >= 0
Dica: Para verificar a sua resposta dos exercícios 11 e 12, utilize o geogebra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte (A) pede para a gente representar no gráfico todos os pontos que satisfazem a inequação . A segunda parte (B) quer que a gente encontre a área de um polígono definido por várias inequações simultâneas. Para isso, vamos precisar entender de geometria analítica, especialmente de gráfico de inequações e de como calcular áreas de polígonos no plano.

Passo 2

Parte A: Vamos começar representando a inequação x + 2y = 6 no plano cartesiano. Primeiro, vamos transformar essa inequação em uma equação para facilitar o gráfico.
Essa é uma reta. Para traçá-la, vamos encontrar dois pontos que satisfazem essa equação.

Passo 3

Escolha valores para 0 + 2y = 6 Rightarrow y = 3 e resolva para x + 0 = 6 Rightarrow x = 6 :
  • Se :
    Então, o ponto é .
  • Se :
    Então, o ponto é .

Passo 4

Com esses dois pontos, podemos desenhar a reta . Agora, precisamos determinar de que lado da reta ficam os pontos que satisfazem a inequação .

Passo 5

Escolha um ponto que não está na reta para testar. Vamos usar o ponto 0 + 2(0) = 0 < 6 :
Como a desigualdade é verdadeira para , isso significa que a região que satisfaz está abaixo da reta.

Passo 6

Então, na parte A, a representação gráfica é a região abaixo da reta no plano cartesiano, sem incluir a própria reta (porque é “<” e não “≤”).

Passo 7

Parte B: Agora, vamos encontrar a área do polígono determinado pelas seguintes inequações simultâneas:
x - y >= 0 2x + y <= 18 x <= 8 y >= 0
Primeiro, vamos entender cada inequação:

Passo 8

Vamos traçar cada uma dessas inequações no gráfico:
  1. : É a região abaixo da reta .
  2. : Primeiramente, traçamos a reta e consideramos a região abaixo dela.
  3. : É a região à esquerda da linha vertical .
  4. : É a região acima do eixo .

Passo 9

Os pontos de interseção dessas retas vão formar os vértices do polígono. Vamos encontrar esses pontos:
  • Interseção de 3x = 18 Rightarrow x = 6 Rightarrow y = 6 e y = 8 :
Substituindo 2(8) + y = 18 Rightarrow 16 + y = 18 Rightarrow y = 2 em 2x + 0 = 18 Rightarrow x = 9 :
y = 0 Rightarrow x = 0
Ponto:
  • Interseção de e :
Ponto:
  • Interseção de e :
Ponto:
  • Interseção de e :
Ponto:
  • Interseção de e :
Ponto:

Passo 10

Agora, vamos listar os vértices do polígono em ordem para calcular a área:
  1. — Nota: Houve um erro anterior, pois com , então é um vértice.
  2. — Retornamos ao ponto inicial.
Na verdade, precisamos reconsiderar os pontos. A interseção correta das inequações define um polígono com vértices em , , , .

Passo 11

Para calcular a área desse polígono, podemos dividir em duas partes: um retângulo e um triângulo.
  1. Retângulo: Entre Área = 12 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| , Área = 12 |8(6 - 0) + 6(0 - 2) + 0(2 - 6)| = 12 |48 - 12 + 0| = 12 times 36 = 18 , ,
    • Base: 8 unidades
    • Altura: 2 unidades
    • Área:
  2. Triângulo: Entre , ,
    • Podemos usar a fórmula da área de um triângulo com três pontos: ÁSubstituindo: Á

Passo 12

Somando as áreas das duas partes:
16 + 18 = 34

Resposta

A área do polígono determinado pelas relações simultâneas é unidades quadradas.

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