Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
é a temperatura no ponto
(Admita que x e y sejam dados em km e atemperatura em T
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio.
a) Qual a direção e sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento?
b) Caminhando na direção e sentido na direção de maior crescimento, qual a taxa de crescimento nessa direção?
c) Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto
.
a) Qual a direção e sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento?
b) Caminhando na direção e sentido na direção de maior crescimento, qual a taxa de crescimento nessa direção?
c) Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a temperatura é dada por
. As coordenadas e estão em e em . - Ponto de interesse:
. - Perguntas:
(a) Em que direção e sentido a pessoa deve ir para caminhar na direção de maior crescimento de temperatura?
(b) Se ela caminhar nessa direção e sentido, qual é a taxa de crescimento da temperatura nessa direção (unidade:)?
(c) Em que direção e sentido ela deve caminhar para manter sempre a mesma temperatura do ponto(ou seja, caminhar ao longo da curva de nível)?
Passo 2
Conceitos úteis (explicados passo a passo).
- O vetor gradiente de
, denotado por , reúne as derivadas parciais de : Intuição: aponta na direção de maior crescimento de e sua magnitude dá a taxa de crescimento máxima (por unidade de distância). - Derivada direcional em direção de um vetor unitário
é que é a taxa de variação de por unidade de deslocamento na direção de . - Para usar a fórmula acima precisamos de um vetor unitário
(comprimento 1). Se tivermos um vetor , o correspondente unitário é onde é a norma (magnitude) de , calculada por .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
-
Explicação:é constante; derivada de em relação a é ; é função de e trata-se como constante ao derivar em relação a . -
Explicação: derivada deem relação a é ; os outros termos são constantes em .
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituindo
e : - Interpretação: o vetor
aponta na direção de máximo aumento de temperatura no ponto . O sinal das componentes: componente em negativa significa que a direção tem sentido para diminuir (ir para a esquerda); componente em positiva significa que a direção tem sentido para aumentar (ir para cima).
Passo 5
Resposta da parte (a): direção e sentido de maior crescimento (com unidade, vetores unitários).
- Primeiro encontramos o vetor unitário na direção de
. Calcular a norma de : - O vetor unitário na direção de maior aumento é
- Interpretação em palavras: ir na direção do vetor
, que tem sentido para a esquerda e para cima (componente negativa e positiva), leva ao maior crescimento de temperatura.
Passo 6
Resposta da parte (b): taxa de crescimento nessa direção.
- A taxa máxima de crescimento é exatamente a magnitude do gradiente:
- Unidade: como
estão em e em , essa taxa tem unidade . - Portanto a taxa de crescimento ao caminhar no sentido de
é . - Comentário prático: isso significa que, por exemplo, deslocando-se
exatamente nessa direção a temperatura aumentaria aproximadamente graus Celsius.
Passo 7
Resposta da parte (c): direção para manter sempre a mesma temperatura (curva de nível).
- Ideia: trajetórias que mantêm
constante são as curvas de nível; ao mover-se tangencialmente a uma curva de nível a variação de é zero. Geometricamente, a tangente à curva de nível é sempre ortogonal ao gradiente. - Logo precisamos de vetores
tais que Resolvendo, obtemos . - Um vetor conveniente (não unitário) que satisfaz isso é
. O correspondente vetor unitário é - Observação sobre sentido: tanto
quanto mantêm a temperatura constante (derivada direcional nula). Portanto a pessoa pode caminhar na direção (direção para a direita e para cima) ou no sentido oposto (direita/baixo invertido), ambos mantêm constante no ponto inicial. - Verificação rápida:
como esperado.
Resposta
(a) Direção (vetor unitário):
(sentido dado pelo vetor
, ou seja, para a esquerda e para cima).
(b) Taxa de crescimento nessa direção: .
(c) Direção para manter a mesma temperatura: qualquer vetor ortogonal a ; por exemplo o vetor unitário
(e o sentido oposto
também mantém
constante).
(b) Taxa de crescimento nessa direção:
(c) Direção para manter a mesma temperatura: qualquer vetor ortogonal a