Suponha que \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=40-\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2} represente uma distribuição de temperatura no plano \mathrm{xy} . \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) é a temperatura no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}) (Admita que x e y sejam dados em km e atemperatura em T { }^{\circ} \mathrm{C}.) Um indivíduo encontra-se na posição (4,1) e pretende dar um passeio.
a) Qual a direção e sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento?
b) Caminhando na direção e sentido na direção de maior crescimento, qual a taxa de crescimento nessa direção?
c) Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (4,1).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a temperatura é dada por T(x,y)=40 - x^{2} + 2y^{2}. As coordenadas x e y estão em \mathrm{km} e T em ^\circ\mathrm{C}.
  • Ponto de interesse: (4,1).
  • Perguntas:
    (a) Em que direção e sentido a pessoa deve ir para caminhar na direção de maior crescimento de temperatura?
    (b) Se ela caminhar nessa direção e sentido, qual é a taxa de crescimento da temperatura nessa direção (unidade: ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km})?
    (c) Em que direção e sentido ela deve caminhar para manter sempre a mesma temperatura do ponto (4,1) (ou seja, caminhar ao longo da curva de nível)?

Passo 2

Conceitos úteis (explicados passo a passo).
  • O vetor gradiente de T, denotado por \nabla T, reúne as derivadas parciais de T: \nabla T(x,y)=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y}\right).Intuição: \nabla T aponta na direção de maior crescimento de T e sua magnitude dá a taxa de crescimento máxima (por unidade de distância).
  • Derivada direcional em direção de um vetor unitário u é D_{u}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot u,que é a taxa de variação de T por unidade de deslocamento na direção de u.
  • Para usar a fórmula acima precisamos de um vetor unitário u (comprimento 1). Se tivermos um vetor v, o correspondente unitário é u=\frac{v}{\|v\|},onde \|v\| é a norma (magnitude) de v, calculada por \|v\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T.
  • \displaystyle \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(40 - x^{2} + 2y^{2}\bigr) = -2x.
    Explicação: 40 é constante; derivada de -x^{2} em relação a x é -2x; 2y^{2} é função de y e trata-se como constante ao derivar em relação a x.
  • \displaystyle \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(40 - x^{2} + 2y^{2}\bigr) = 4y.
    Explicação: derivada de 2y^{2} em relação a y é 4y; os outros termos são constantes em y.
Portanto
\displaystyle \nabla T(x,y)=(-2x,\,4y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (4,1).
  • Substituindo x=4 e y=1: \nabla T(4,1)=(-2\cdot 4,\;4\cdot 1)=(-8,\,4).
  • Interpretação: o vetor (-8,4) aponta na direção de máximo aumento de temperatura no ponto (4,1). O sinal das componentes: componente em x negativa significa que a direção tem sentido para diminuir x (ir para a esquerda); componente em y positiva significa que a direção tem sentido para aumentar y (ir para cima).

Passo 5

Resposta da parte (a): direção e sentido de maior crescimento (com unidade, vetores unitários).
  • Primeiro encontramos o vetor unitário na direção de \nabla T(4,1). Calcular a norma de \nabla T(4,1): \|\nabla T(4,1)\|=\sqrt{(-8)^{2}+4^{2}}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.
  • O vetor unitário na direção de maior aumento é u=\frac{\nabla T(4,1)}{\|\nabla T(4,1)\|=\!4\sqrt{5}}=\left(\frac{-8}{4\sqrt{5}},\frac{4}{4\sqrt{5}}\right)=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • Interpretação em palavras: ir na direção do vetor \left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right), que tem sentido para a esquerda e para cima (componente x negativa e y positiva), leva ao maior crescimento de temperatura.

Passo 6

Resposta da parte (b): taxa de crescimento nessa direção.
  • A taxa máxima de crescimento é exatamente a magnitude do gradiente: \max_{ \|u\|=1} D_{u}T(4,1)=\|\nabla T(4,1)\|=4\sqrt{5}.
  • Unidade: como x,y estão em \mathrm{km} e T em ^\circ\mathrm{C}, essa taxa tem unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}.
  • Portanto a taxa de crescimento ao caminhar no sentido de \nabla T(4,1) é 4\sqrt{5}\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}.
  • Comentário prático: isso significa que, por exemplo, deslocando-se 1\\ \mathrm{km} exatamente nessa direção a temperatura aumentaria aproximadamente 4\sqrt{5} graus Celsius.

Passo 7

Resposta da parte (c): direção para manter sempre a mesma temperatura (curva de nível).
  • Ideia: trajetórias que mantêm T constante são as curvas de nível; ao mover-se tangencialmente a uma curva de nível a variação de T é zero. Geometricamente, a tangente à curva de nível é sempre ortogonal ao gradiente.
  • Logo precisamos de vetores v=(v_{1},v_{2}) tais que \nabla T(4,1)\cdot v = (-8,4)\cdot(v_{1},v_{2}) = -8v_{1}+4v_{2}=0.Resolvendo, obtemos 4v_{2}=8v_{1}\Rightarrow v_{2}=2v_{1}.
  • Um vetor conveniente (não unitário) que satisfaz isso é v=(1,2). O correspondente vetor unitário é w=\frac{(1,2)}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
  • Observação sobre sentido: tanto w quanto -w mantêm a temperatura constante (derivada direcional nula). Portanto a pessoa pode caminhar na direção \left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) (direção para a direita e para cima) ou no sentido oposto \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) (direita/baixo invertido), ambos mantêm T constante no ponto inicial.
  • Verificação rápida: \nabla T(4,1)\cdot w = (-8,4)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =\frac{-8+8}{\sqrt{5}}=0,como esperado.

Resposta

(a) Direção (vetor unitário): \left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) (sentido dado pelo vetor (-8,4), ou seja, para a esquerda e para cima).
(b) Taxa de crescimento nessa direção: 4\sqrt{5}\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}.
(c) Direção para manter a mesma temperatura: qualquer vetor ortogonal a (-8,4); por exemplo o vetor unitário \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) (e o sentido oposto \left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) também mantém T constante).

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