Qual o limite das funções abaixo quando x e y se aproximam de zero?
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pede-se o limite quando
da função
- Informação importante: para todo
próximo de temos , logo o argumento do seno é não-negativo. - Objetivo claro: determinar se o limite existe como número finito, ou se diverge (para
ou ), ou se não existe de forma diferente.
Passo 2
Uma desigualdade útil entre
e
.
Calculo
:
Como
, segue que
Esta desigualdade é simples mas muito útil: ela diz que o denominador
é no máximo igual a
.
Passo 3
Comportamento do numerador para argumentos pequenos: aproximação de pequeno ângulo do seno e uma desigualdade útil.
- Fato conhecido (e fácil de justificar):
. Isso significa que, para suficientemente pequeno e positivo, é muito próximo de . Em particular existe tal que, para todo com ,
(Explicação rápida: como
, para
pequeno essa razão fica maior que, por exemplo,
.)
- Aplicando isso ao nosso caso, ponha
. Para pontos com vale
Passo 4
Combinar as desigualdades para obter um limite inferior que explode.
Para
com
(ou seja, suficientemente próximos de
e distintos de
) temos, usando as duas desigualdades anteriores,
Logo para todos os pontos suficientemente próximos de
(exceto o próprio ponto),
.
Passo 5
Conclusão sobre o comportamento quando
.
Como
quando
, e
é maior ou igual a essa quantidade para
suficientemente próximos de
, segue que
Isto significa que não existe limite finito; a função diverge para
ao aproximar-se da origem.