Qual o limite das funções abaixo quando x e y se aproximam de zero?
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se o limite quando (x,y)\to(0,0) da função
f(x,y)=\frac{\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{4}+y^{4}}.
  • Informação importante: para todo (x,y) próximo de (0,0) temos x^{2}+y^{2}\ge 0, logo o argumento do seno é não-negativo.
  • Objetivo claro: determinar se o limite existe como número finito, ou se diverge (para +\infty ou -\infty), ou se não existe de forma diferente.

Passo 2

Uma desigualdade útil entre x^{4}+y^{4} e (x^{2}+y^{2})^{2}.
Calculo (x^{2}+y^{2})^{2}:
(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}.
Como 2x^{2}y^{2}\ge 0, segue que
x^{4}+y^{4}\le (x^{2}+y^{2})^{2}.
Esta desigualdade é simples mas muito útil: ela diz que o denominador x^{4}+y^{4} é no máximo igual a (x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 3

Comportamento do numerador para argumentos pequenos: aproximação de pequeno ângulo do seno e uma desigualdade útil.
  • Fato conhecido (e fácil de justificar): \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Isso significa que, para t suficientemente pequeno e positivo, \sin t é muito próximo de t. Em particular existe \delta>0 tal que, para todo t com 0<t<\delta,
\sin t \ge \frac{t}{2}.
(Explicação rápida: como \sin t/t\to 1, para t pequeno essa razão fica maior que, por exemplo, 1/2.)
  • Aplicando isso ao nosso caso, ponha t=x^{2}+y^{2}. Para pontos (x,y) com 0<x^{2}+y^{2}<\delta vale
\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\ge \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.

Passo 4

Combinar as desigualdades para obter um limite inferior que explode.
Para (x,y) com 0<x^{2}+y^{2}<\delta (ou seja, suficientemente próximos de (0,0) e distintos de (0,0)) temos, usando as duas desigualdades anteriores,
f(x,y)=\frac{\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{4}+y^{4}} \ge \frac{\tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}}{x^{4}+y^{4}} \ge \frac{\tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.
Logo para todos os pontos suficientemente próximos de (0,0) (exceto o próprio ponto), f(x,y)\ge \dfrac{1}{2(x^{2}+y^{2})}.

Passo 5

Conclusão sobre o comportamento quando (x,y)\to(0,0).
Como \dfrac{1}{2(x^{2}+y^{2})}\to +\infty quando (x,y)\to(0,0), e f(x,y) é maior ou igual a essa quantidade para (x,y) suficientemente próximos de (0,0), segue que
f(x,y)\to +\infty\quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
Isto significa que não existe limite finito; a função diverge para +\infty ao aproximar-se da origem.

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{4}+y^{4}}=+\infty

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