Encontre a equação do plano tangente à curva no ponto especificado.
r(u, v)=u v i+(u-v) j+(u+v) k, em u=1 e v=2

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica
r(u,v)=lang<= uv,;u-v,;u+vrang<=
e pede a equação do plano tangente no ponto correspondente a u=1, v=2. Para isso, vamos usar que o vetor normal do plano é dado por
n = ru times rv
avaliado em (1,2), e que a equação do plano é
ncdot (lang<= x,y,zrang<= - r(1,2)) = 0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de r:
ru = partialpartial ulang<= uv,;u-v,;u+vrang<= = lang<= v,;1,;1rang<=,
rv = partialpartial vlang<= uv,;u-v,;u+vrang<= = lang<= u,;-1,;1rang<=

Passo 3

Avaliando em (u,v)=(1,2) temos
ru(1,2)=lang<= 2,1,1rang<=, rv(1,2)=lang<= 1,-1,1rang<=
O vetor normal é
n = ru(1,2)times rv(1,2) = i & j & k 2 & 1 & 1 1 & -1 & 1 = lang<= 2,,-1,,-3rang<=

Passo 4

O ponto de tangência é
r(1,2)=lang<= 1cdot2,;1-2,;1+2rang<= =lang<= 2,,-1,;3rang<=

Passo 5

A equação do plano com normal n=lang<= 2,-1,-3rang<= passando por (2,-1,3) é
2(x-2) ;-;1,(y+1);-;3(z-3)=0
Desenvolvendo:
2x-4 -y-1 -3z+9=0 Longrightarrow 2x - y -3z +4 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
2x - y - 3z + 4 = 0

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