Encontre a equação do plano tangente à curva no ponto especificado.
r(u, v)=u cos v i+u sin v j+v k, em u=0, v=pi

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície parametrizada
r(u,v)=ucos v,i+usin v,j+v,k
e pede o plano tangente no ponto (u,v)=(0,pi). Para resolver vamos usar derivadas parciais, produto vetorial para achar o vetor normal e a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Calcular o ponto de interesse
r(0,pi)=0cdotcospi,i+0cdotsinpi,j+pi,k=(0,0,pi)

Passo 3

Determinar as derivadas parciais
ru(u,v)=(cos v),i+(sin v),j+0,k,
rv(u,v)=(-usin v),i+(ucos v),j+1,k

Passo 4

Avaliar em (0,pi)
ru(0,pi)=(-1,0,0),
rv(0,pi)=(0,0,1)

Passo 5

Obter o vetor normal pelo produto vetorial
n=ru(0,pi)timesrv(0,pi)=(-1,0,0)times(0,0,1)=(0,1,0)

Passo 6

Escrever a equação do plano na forma ponto-normal
ncdotl((x,y,z)-(0,0,pi)r)=0
(0,1,0)cdot(x,y,z-pi)=0
que simplifica para
y=0

Resposta

A equação do plano tangente é
y=0

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