Encontre a equação da reta normal ao gráfico de f(x)=e^{x} no ponto onde a curva intercepta o eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=e^{x} e pede a equação da reta normal ao gráfico dessa função no ponto onde a curva intercepta o eixo y. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=e^{x}.
  • O ponto pedido é o ponto de interseção com o eixo y, isto é, o ponto em que x=0 (o valor de y naquele ponto é f(0)).
  • Precisa-se da equação da reta normal nesse ponto (ou seja, da reta perpendicular à reta tangente ao gráfico naquele ponto).

Passo 2

Determinar as coordenadas do ponto de interesse. A interseção com o eixo y ocorre em x=0, então o ponto é \bigl(0,f(0)\bigr). Vamos avaliar f(0):
f(0)=e^{0}=1.
Portanto o ponto onde a curva intercepta o eixo y é \bigl(0,1\bigr).
Explicação didática rápida: e^{0}=1 porque qualquer número positivo elevado à potência zero vale 1. Aqui e é a base dos logaritmos naturais, mas o que importa é que e^{0}=1.

Passo 3

Entender o que é a reta normal e como encontrá-la. A reta normal em um ponto do gráfico é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto. Para obter a reta normal precisamos:
  • saber a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto, que é dada pela derivada f'(x) avaliada naquele ponto;
  • então a inclinação da reta normal é o inverso negativo dessa inclinação (produto das inclinações de retas perpendiculares é -1).
Breve lição sobre derivada: a derivada f'(x) de uma função num ponto dá a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Para f(x)=e^{x} existe uma propriedade muito útil:
\text{o derivada de }e^{x}\text{ é }e^{x},é
isto é, f'(x)=e^{x}. Uma justificativa curta: pela definição de derivada,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^{x}\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}\cdot1=e^{x},
pois \lim_{h\to0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1.

Passo 4

Calcular a inclinação da reta tangente no ponto x=0. Usando f'(x)=e^{x}, temos:
f'(0)=e^{0}=1.
Isto significa que a reta tangente em \bigl(0,1\bigr) tem coeficiente angular m_{\text{tang}}=1.
Explicação didática: o número 1 aqui significa que, num pequeno deslocamento horizontal de 1 unidade para a direita, a altura da tangente sobe aproximadamente 1 unidade — essa é a inclinação.

Passo 5

Encontrar a inclinação da reta normal. Como a reta normal é perpendicular à tangente, seus coeficientes angulares satisfazem
m_{\text{tang}}\cdot m_{\text{norm}}=-1.
Então
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tang}}}=-\frac{1}{1}=-1.
Breve justificativa da fórmula: se uma reta tem inclinação m=\tan\theta, a reta perpendicular tem inclinação \tan(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\cot\theta=-1/\tan\theta.

Passo 6

Escrever a equação da reta normal com a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação da equação de uma reta que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e tem inclinação m é
y-y_{0}=m\bigl(x-x_{0}\bigr).
Aqui x_{0}=0, y_{0}=1 e m=m_{\text{norm}}=-1. Substituindo:
y-1=-1\bigl(x-0\bigr).
Simplificando:
y-1=-x
y=-x+1.

Passo 7

Verificação rápida (sentido físico): a reta normal tem inclinação -1 e passa pelo ponto \bigl(0,1\bigr), então cruza o eixo y em 1 e é perpendicular à tangente de inclinação 1 — tudo consistente.

Resposta

y=-x+1

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