Encontre a equação da reta normal ao gráfico de
no ponto onde a curva intercepta o eixo
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a equação da reta normal ao gráfico dessa função no ponto onde a curva intercepta o eixo
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto pedido é o ponto de interseção com o eixo
, isto é, o ponto em que (o valor de naquele ponto é ). - Precisa-se da equação da reta normal nesse ponto (ou seja, da reta perpendicular à reta tangente ao gráfico naquele ponto).
Passo 2
Determinar as coordenadas do ponto de interesse. A interseção com o eixo
ocorre em
, então o ponto é
. Vamos avaliar
:
Portanto o ponto onde a curva intercepta o eixo
é
.
Explicação didática rápida:
porque qualquer número positivo elevado à potência zero vale
. Aqui
é a base dos logaritmos naturais, mas o que importa é que
.
Passo 3
Entender o que é a reta normal e como encontrá-la. A reta normal em um ponto do gráfico é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto. Para obter a reta normal precisamos:
- saber a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto, que é dada pela derivada
avaliada naquele ponto; - então a inclinação da reta normal é o inverso negativo dessa inclinação (produto das inclinações de retas perpendiculares é
).
Breve lição sobre derivada: a derivada
de uma função num ponto dá a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Para
existe uma propriedade muito útil:
isto é,
. Uma justificativa curta: pela definição de derivada,
pois
.
Passo 4
Calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Usando
, temos:
Isto significa que a reta tangente em
tem coeficiente angular
.
Explicação didática: o número
aqui significa que, num pequeno deslocamento horizontal de
unidade para a direita, a altura da tangente sobe aproximadamente
unidade — essa é a inclinação.
Passo 5
Encontrar a inclinação da reta normal. Como a reta normal é perpendicular à tangente, seus coeficientes angulares satisfazem
Então
Breve justificativa da fórmula: se uma reta tem inclinação
, a reta perpendicular tem inclinação
.
Passo 6
Escrever a equação da reta normal com a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação da equação de uma reta que passa por
e tem inclinação
é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Verificação rápida (sentido físico): a reta normal tem inclinação
e passa pelo ponto
, então cruza o eixo
em
e é perpendicular à tangente de inclinação
— tudo consistente.