Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A=(-2,1,-3) e B=(-4,0,2). Determine C in r, distinto de A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta r que passa pelos pontos A = (-2, 1, -3) e B = (-4, 0, 2) . Além disso, tem que achar um ponto C que também esteja nessa reta, mas que não seja o A nem o B . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre equações de retas em três dimensões e vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta r . O vetor diretor é basicamente a diferença entre os pontos B e A . Ele indica a direção da reta.
AB = B - A = (-4 - (-2), 0 - 1, 2 - (-3)) = (-2, -1, 5)
Então, nosso vetor diretor é v = (-2, -1, 5) .

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, podemos escrever a equação paramétrica da reta [r). Vamos usar o ponto como ponto de referência. A equação paramétrica fica assim:
Aqui, (t] é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Também podemos escrever a equação vetorial da reta r . Ela fica da seguinte forma:
r(t) = A + t cdot v = (-2, 1, -3) + t(-2, -1, 5)
Ou seja,
r(t) = (-2 - 2t, 1 - t, -3 + 5t)

Passo 5

Agora, vamos determinar um ponto [C) que pertence à reta e que seja diferente de e . Para isso, basta escolhermos um valor de que não seja 0 ou 1 (já que nos dá e nos dá ). Vamos escolher, por exemplo, .
Substituindo na equação paramétrica:
Então, o ponto .

Resposta

A equação da reta r que passa pelos pontos A e B é dada por:
r(t) = (-2, 1, -3) + t(-2, -1, 5)
E um ponto C distinto de A e B que pertence à reta r é:
C = (-6, -1, 7)

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