Calcule y^prime e y^prime prime.
f(x)=cos (x^2);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
f(x)=cosl(x^2r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e, em seguida, a regra do produto para a segunda derivada.

Passo 2

Para achar a primeira derivada y' = f'(x), note que podemos ver f como a composição
u(x)=x^2, f(x)=cos(u(x))
Pela regra da cadeia,
f'(x)=ddxl[cos(u)r]=-sin(u),dudx
Como tfracdudx=2x, temos
y' = -sinl(x^2r)cdot 2x = -2x,sinl(x^2r)

Passo 3

Agora derivamos y' = -2x,sin(x^2) para obter y''. Aqui usaremos a regra do produto em
y' = A(x),B(x)com A(x)=-2x,;B(x)=sin(x^2)
Pela regra do produto,
y'' = A'(x),B(x) + A(x),B'(x)
Temos
A'(x) = -2,
e novamente pela cadeia
B'(x)=ddxl[sin(x^2)r]=cos(x^2)cdot 2x

Passo 4

Substituindo em y'':
y'' = (-2),sin(x^2) + (-2x),l[2x,cos(x^2)r] = -2,sin(x^2) -4x^2,cos(x^2)

Resposta

y' = -2x,sinl(x^2r), y'' = -2,sinl(x^2r) -4x^2,cosl(x^2r)

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