Seja C a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com a superfície z=e^x y, na região do espaço onde x >= 0 e y >= 0. Considere o campo de força
F(x, y, z)=(y z^2, x z^2+1,2 x y z)
(b) Encontre um potencial f(x, y, z) de F(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um potencial escalar f(x,y,z) tal que nabla f=vec F, onde
vec F(x,y,z)=(P,Q,R)=l(yz^2,;xz^2+1,;2xyzr)
O conteúdo é reconhecimento de campo conservativo e determinação de potencial por integração.

Passo 2

Verificamos que vec F é conservativo, conferindo que as derivadas mistas coincidem:
partial Ppartial y =partialpartial yl(yz^2r)=z^2, partial Qpartial x =partialpartial xl(xz^2+1r)=z^2,
partial Ppartial z =partialpartial zl(yz^2r)=2yz, partial Rpartial x =partialpartial xl(2xyzr)=2yz,
partial Qpartial z =partialpartial zl(xz^2+1r)=2xz, partial Rpartial y =partialpartial yl(2xyzr)=2xz
Como todas as igualdades se confirmam, vec F é conservativo num domínio simplesmente conexo.

Passo 3

Começamos integrando P em relação a x:
f(x,y,z) =integral P,dx =integral yz^2,dx =xyz^2+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função ainda indefinida de (y,z).

Passo 4

Impondo partial f/partial y=Q, obtemos
partial fpartial y =xz^2 + partial gpartial y stackrel!= xz^2+1 ;Longrightarrow; partial gpartial y=1 ;Longrightarrow; g(y,z)=y+h(z),
com h(z) função só de z.

Passo 5

Finalmente, impomos partial f/partial z=R. Temos
partial fpartial z =partialpartial zl(xyz^2 + y + h(z)r) =2xyz + h'(z) stackrel!=2xyz ;Longrightarrow; h'(z)=0 ;Longrightarrow; h(z)=C
Logo, um potencial é
f(x,y,z)=xyz^2+y+C

Resposta

f(x,y,z)=xyz^2+y,
onde podemos tomar a constante de integração C=0.

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