Encontre a equação da reta tangente à curva y=\frac{2}{\left(x^{2}-2 x-4\right)^{2}} no ponto (3,2)

Passo 1

O enunciado dá a curva y = \frac{2}{(x^2 - 2x - 4)^2} e pede a reta tangente no ponto (3,2). Vamos calcular a derivada y' e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Definimos u = x^2 - 2x - 4, logo y = 2u^{-2}. Aplicando a regra da cadeia:
y' = 2 \cdot (-2) u^{-3} \cdot u' = -4 \frac{u'}{u^3},
onde
u' = 2x - 2.

Passo 3

No ponto x=3, temos
u(3) = 3^2 - 2\cdot3 - 4 = -1,
u'(3) = 2\cdot3 - 2 = 4.
Portanto,
y'(3) = -4 \frac{4}{(-1)^3} = 16.

Passo 4

A equação da reta tangente em (3,2) é dada por
y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0),
isto é,
y - 2 = 16(x - 3).
Expandindo,
y = 16x - 46.

Resposta

A reta tangente é y = 16x - 46.

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