Em que ponto da curva f(x)=x^{2}+8 o coeficiente angular da tangente é 16 ? Escreva a equação dessa reta tangente. Qual a reta normal à curva neste ponto?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^2+8 e pede o ponto onde o coeficiente angular da reta tangente vale 16, além de escrever essa reta tangente e a reta normal nesse ponto. Para isso vamos usar que o coeficiente angular da tangente em x é dado por f'(x) e que a reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco de f'(x).

Passo 2

Calcular a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2+8\bigr)=2x.
Agora impomos f'(x)=16:
2x=16\quad\Longrightarrow\quad x=8.

Passo 3

Encontrar a ordenada do ponto na curva:
f(8)=8^2+8=64+8=72.
Logo o ponto é \bigl(8,72\bigr).

Passo 4

A reta tangente em \bigl(8,72\bigr) tem coeficiente angular m_t=16. A forma-ponto dá:
y-72=16\,(x-8).
Se quisermos em forma explícita:
y=16x-128+72=16x-56.

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular m_n=-\tfrac{1}{m_t}=-\tfrac{1}{16}. Usando também a forma-ponto em \bigl(8,72\bigr):
y-72=-\tfrac{1}{16}\,(x-8).
Em forma explícita:
y=-\tfrac{1}{16}x+\tfrac{8}{16}+72=-\tfrac{1}{16}x+\tfrac{145}{2}.

Resposta

Ponto: (8,72)
Reta tangente: y=16x-56
Reta normal: y=-\tfrac{1}{16}x+\tfrac{145}{2}

Exercícios relacionados