Mostre que a função f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x<1 \\\\ -x+4, \text { se } x \geq 1\end{array}\right. não é derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1,\\\\ -x+4, & x\ge1, \end{cases}
e pede para mostrar que ela não é derivável em x=1. Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto e checar as derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos a continuidade em x=1, pois derivabilidade exige continuidade.
Para x\to1^-, f(x)\to2\cdot1+1=3.
Para x\to1^+, f(x)\to-1+4=3.
E f(1), usando o ramo x\ge1, vale -1+4=3.
Como todos coincidem em 3, f é contínua em x=1.

Passo 3

Calculamos a derivada pela esquerda:
Em x<1, f(1+h)=2(1+h)+1=3+2h.
O quociente de diferença é \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{3+2h-3}{h}=2.
Assim \displaystyle f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}2=2.

Passo 4

Calculamos a derivada pela direita:
Em x\ge1, f(1+h)=-(1+h)+4=3-h.
O quociente de diferença é \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{3-h-3}{h}=-1.
Logo \displaystyle f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}(-1)=-1.

Passo 5

As derivadas laterais não coincidem: \displaystyle f'_-(1)=2\neq -1=f'_+(1).
Portanto, a derivada em x=1 não existe.

Resposta

A função não é derivável em x=1.

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