e pede para mostrar que ela não é derivável em x=1. Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto e checar as derivadas laterais em x=1.
Passo 2
Antes de tudo, verificamos a continuidade em x=1, pois derivabilidade exige continuidade.
Para x\to1^-, f(x)\to2\cdot1+1=3.
Para x\to1^+, f(x)\to-1+4=3.
E f(1), usando o ramo x\ge1, vale -1+4=3.
Como todos coincidem em 3, f é contínua em x=1.
Passo 3
Calculamos a derivada pela esquerda:
Em x<1, f(1+h)=2(1+h)+1=3+2h.
O quociente de diferença é \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{3+2h-3}{h}=2.
Assim \displaystyle f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}2=2.
Passo 4
Calculamos a derivada pela direita:
Em x\ge1, f(1+h)=-(1+h)+4=3-h.
O quociente de diferença é \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{3-h-3}{h}=-1.
Logo \displaystyle f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}(-1)=-1.
Passo 5
As derivadas laterais não coincidem: \displaystyle f'_-(1)=2\neq -1=f'_+(1).
Portanto, a derivada em x=1 não existe.