Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de \frac{d^{2} y}{d x^{2}} nesse ponto.
x=\frac{1}{t+1}, \quad y=\frac{t}{t-1}, \quad t=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto correspondente a t=2:
  • A equação da reta tangente à curva paramétrica dada por
x=\frac{1}{t+1},\qquad y=\frac{t}{t-1}
no instante t=2.
  • O valor de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} avaliado nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
  • As funções paramétricas são x(t)=\dfrac{1}{t+1} e y(t)=\dfrac{t}{t-1}.
  • O ponto de interesse é para t=2.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as coordenadas do ponto na curva quando t=2.
Calcular x(2):
x(2)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}.
Calcular y(2):
y(2)=\frac{2}{2-1}=\frac{2}{1}=2.
Portanto o ponto é \left(\dfrac{1}{3},\,2\right).

Passo 3

Agora precisamos da inclinação da tangente, que para curva paramétrica é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} (desde que \frac{dx}{dt}\neq0). Vou calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.
Derivada de x(t)= (t+1)^{-1} usando a regra da potência:
\frac{dx}{dt} = -1\cdot (t+1)^{-2} = -\frac{1}{(t+1)^2}.
Derivada de y(t)=\dfrac{t}{t-1} usando a regra do quociente:
\frac{dy}{dt}=\frac{(t-1)\cdot 1 - t\cdot 1}{(t-1)^2}=\frac{t-1-t}{(t-1)^2}=-\frac{1}{(t-1)^2}.

Passo 4

Aplicando \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}:
\frac{dy}{dx} = \frac{-\dfrac{1}{(t-1)^2}}{-\dfrac{1}{(t+1)^2}} = \frac{(t+1)^2}{(t-1)^2}.
Observe que os sinais negativos se cancelaram. Podemos reescrever de forma mais clara:
\frac{dy}{dx}=\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^{2}.

Passo 5

Avaliar a inclinação no ponto t=2:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=2}=\left(\frac{2+1}{2-1}\right)^{2}=\left(\frac{3}{1}\right)^{2}=9.
Então a inclinação da tangente é m=9.

Passo 6

Equação da reta tangente no ponto \left(\dfrac{1}{3},2\right) usando a forma ponto-inclinação:
y-2=9\left(x-\frac{1}{3}\right).
Simplificando:
y-2=9x-3 \quad\Rightarrow\quad y=9x-1.

Passo 7

Agora vamos calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Em parametrização vale a fórmula
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}},
que vem de aplicar a regra da cadeia: d/dx=(1/(dx/dt))\,d/dt.
Temos \dfrac{dy}{dx}=\left(\dfrac{t+1}{t-1}\right)^{2}. Defina u(t)=\dfrac{t+1}{t-1}, assim \dfrac{dy}{dx}=u^2. Então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}(u^2)=2u\cdot\frac{du}{dt}.
Calcular \dfrac{du}{dt} usando a regra do quociente:
\frac{du}{dt}=\frac{(t-1)\cdot 1-(t+1)\cdot 1}{(t-1)^2}=\frac{t-1-t-1}{(t-1)^2}=-\frac{2}{(t-1)^2}.
Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=2\cdot\frac{t+1}{t-1}\cdot\left(-\frac{2}{(t-1)^2}\right)=-\frac{4(t+1)}{(t-1)^3}.
Agora dividimos por \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{1}{(t+1)^2}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-\dfrac{4(t+1)}{(t-1)^3}}{-\dfrac{1}{(t+1)^2}} = 4\cdot\frac{(t+1)^3}{(t-1)^3}.

Passo 8

Avaliar a segunda derivada em t=2:
\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{t=2} =4\cdot\frac{(2+1)^3}{(2-1)^3} =4\cdot\frac{3^3}{1^3} =4\cdot 27=108.

Resposta

y=9x-1
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=108

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