Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de \frac{d^{2} y}{d x^{2}} nesse ponto. x=\frac{1}{t+1}, \quad y=\frac{t}{t-1}, \quad t=2
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto correspondente a t=2:
A equação da reta tangente à curva paramétrica dada por
x=\frac{1}{t+1},\qquad y=\frac{t}{t-1}
no instante t=2.
O valor de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} avaliado nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
As funções paramétricas são x(t)=\dfrac{1}{t+1} e y(t)=\dfrac{t}{t-1}.
O ponto de interesse é para t=2.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar as coordenadas do ponto na curva quando t=2.
Calcular x(2):
x(2)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}.
Calcular y(2):
y(2)=\frac{2}{2-1}=\frac{2}{1}=2.
Portanto o ponto é \left(\dfrac{1}{3},\,2\right).
Passo 3
Agora precisamos da inclinação da tangente, que para curva paramétrica é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} (desde que \frac{dx}{dt}\neq0). Vou calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.
Derivada de x(t)= (t+1)^{-1} usando a regra da potência: