Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=\left(t+1, t^{2}-1,2 t\right) ; =1

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição da partícula e um valor de tempo para avaliar:
  • Dado: r(t)=\bigl(t+1,\; t^{2}-1,\; 2t\bigr).
  • Tempo onde queremos os resultados: t=1.
O enunciado pede:
  1. A velocidade da partícula no tempo t=1 (isto é, o vetor velocidade v(1)).
  2. O módulo da velocidade no tempo t=1 (isto é, a rapidez \lvert v(1)\rvert).
  3. A aceleração da partícula no tempo t=1 (isto é, o vetor aceleração a(1)).

Passo 2

O que é velocidade e como calculá-la (aula rápida e prática).
  • A velocidade vetorial v(t) é a derivada temporal do vetor posição r(t). Em símbolos:
v(t)=\frac{d}{dt}\,r(t).
  • Para um vetor escrito componente a componente, a derivada se faz componente a componente. Ou seja, se
r(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr),
então
v(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
  • Regras de derivação que vamos usar (lembrando devagar): \dfrac{d}{dt}(t)=1, \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t, e \dfrac{d}{dt}(\text{constante})=0.

Passo 3

Calcular v(t) aplicando as derivadas componente a componente.
  • Primeira componente: \dfrac{d}{dt}(t+1)=1+0=1.
  • Segunda componente: \dfrac{d}{dt}(t^{2}-1)=2t+0=2t.
  • Terceira componente: \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
Portanto
v(t)=\bigl(1,\;2t,\;2\bigr).
Agora avaliar em t=1:
v(1)=\bigl(1,\;2\cdot1,\;2\bigr)=\bigl(1,\;2,\;2\bigr).

Passo 4

O que é o módulo da velocidade e como calculá-lo (mini-aula).
  • O módulo de um vetor v=(v_{x},v_{y},v_{z}) em \mathbb{R}^{3} é dado por
\lvert v\rvert=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}.
  • Isso vem do extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.

Passo 5

Calcular o módulo de v(1).
  • As componentes de v(1) são 1, 2 e 2.
  • Então
\lvert v(1)\rvert=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

O que é aceleração e como calculá-la (explicação curta).
  • A aceleração vetorial a(t) é a derivada temporal da velocidade:
a(t)=\frac{d}{dt}\,v(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,r(t).
  • Novamente derivamos componente a componente.

Passo 7

Calcular a(t) e avaliar em t=1.
  • Já temos v(t)=\bigl(1,\;2t,\;2\bigr).
  • Derivando:
    • \dfrac{d}{dt}(1)=0.
    • \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
    • \dfrac{d}{dt}(2)=0.
  • Logo
a(t)=\bigl(0,\;2,\;0\bigr).
Avaliar em t=1
a(1)=\bigl(0,\;2,\;0\bigr).

Resposta

v(1)=\bigl(1,\;2,\;2\bigr)
\lvert v(1)\rvert=3
a(1)=\bigl(0,\;2,\;0\bigr)

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