Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição
no valor determinado de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição da partícula e um valor de tempo para avaliar:
- Dado:
. - Tempo onde queremos os resultados:
.
O enunciado pede:
- A velocidade da partícula no tempo
(isto é, o vetor velocidade ). - O módulo da velocidade no tempo
(isto é, a rapidez ). - A aceleração da partícula no tempo
(isto é, o vetor aceleração ).
Passo 2
O que é velocidade e como calculá-la (aula rápida e prática).
- A velocidade vetorial
é a derivada temporal do vetor posição . Em símbolos:
- Para um vetor escrito componente a componente, a derivada se faz componente a componente. Ou seja, se
então
- Regras de derivação que vamos usar (lembrando devagar):
, , e .
Passo 3
Calcular
aplicando as derivadas componente a componente.
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto
Agora avaliar em
:
Passo 4
O que é o módulo da velocidade e como calculá-lo (mini-aula).
- O módulo de um vetor
em é dado por
- Isso vem do extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.
Passo 5
Calcular o módulo de
.
- As componentes de
são , e . - Então
Passo 6
O que é aceleração e como calculá-la (explicação curta).
- A aceleração vetorial
é a derivada temporal da velocidade:
- Novamente derivamos componente a componente.
Passo 7
Calcular
e avaliar em
.
- Já temos
. - Derivando:
-
. -
. -
.
-
- Logo
Avaliar em
dá