(páginas 118-120): Desenhe a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a imagem da função
dada por
Informações dadas:
- O parâmetro varia em
(ou seja, apenas valores positivos de ). - As coordenadas do ponto imagem são
.
A tarefa é representar geometricamente o conjunto de todos os pontospara .
Passo 2
O que significa “imagem” aqui? A imagem de
é o conjunto
Ou seja, todos os pontos
com
positivo. Para desenhar, é útil transformar essa descrição paramétrica numa descrição geométrica sem parâmetro (eliminar
).
Passo 3
Eliminar o parâmetro: como
e
, obtemos imediatamente
Também temos
. Substituindo
(porque
), vem
válido para
. Multiplicando, outra forma conveniente é
Portanto a imagem é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as equações
com
.
Passo 4
Interpretação geométrica: a primeira equação
é o plano
(um plano vertical que atravessa a reta
no plano
). A segunda equação
é uma superfície hiperbólica (uma “superfície hiperbólica” no sentido de ser o gráfico de
visto em variáveis
). A imagem é a curva de interseção desses dois objetos: a interseção do plano
com a superfície
.
Passo 5
Forma mais direta e útil para desenhar: como na interseção
podemos parametrizar por
(igual a
), a curva pode ser vista dentro do plano
como o gráfico da função univariada
Ou seja, dentro do plano
a imagem é exatamente a hipérbole
para
. Para esboçar, basta desenhar esse gráfico no plano
.
Passo 6
Pontos de referência (peguei estes valores substituindo diferentes
na definição):
Esses pontos mostram como a curva se comporta: quando
é pequeno (
) temos
e o ponto fica perto da origem nas projeções
mas sobe muito em
; quando
temos
e o ponto desloca-se para longe na direção
aproximando-se do plano
.
Passo 7
Comportamento e características úteis para o desenho:
- A curva fica inteiramente no primeiro octante porque
, e . - Não há auto-interseção: a parametrização é injetora (valores diferentes de
dão pontos diferentes). - Assimptótica: quando
, a curva aproxima-se da reta direcional (ou seja, aproxima-se do plano seguindo a linha ); quando , cresce sem limite (vai para ). - Derivada/declive dentro do plano
: . Como , a inclinação no plano (razão ) é
negativa e com valor absoluto decrescendo quando
aumenta (curva fica mais “horizontal” para
grandes).
Passo 8
Como desenhar passo a passo (prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e marque o primeiro octante. - Trace o plano vertical
(uma folha inclinada a 45° em relação aos eixos e ). - No plano
, use um sistema de coordenadas com eixo horizontal e vertical correspondendo a (na direção da reta ) e . - Desenhe o gráfico
para nesse plano: passe pelos pontos listados em passo 6 e conecte suavemente, lembrando que a curva decresce e tende a quando e dispara para quando . - O resultado é uma curva tipo “hipérbole” no plano
, inteira no primeiro octante.
Resposta
A imagem é a curva
, que é a interseção do plano
com a superfície
; geometricamente é a hipérbole
para
contida no plano
, situada no primeiro octante.