(páginas 118-120): Desenhe a imagem das seguintes funções:
F(t)=\left(t, t, \frac{1}{t}\right), \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da função \,F:(0,\infty)\to\mathbb{R}^3 dada por
F(t)=\bigl(t,\;t,\;\tfrac{1}{t}\bigr),\qquad t>0.
Informações dadas:
  • O parâmetro varia em (0,\infty) (ou seja, apenas valores positivos de t).
  • As coordenadas do ponto imagem são \,x=t\,,\;y=t\,,\;z=\tfrac{1}{t}.
    A tarefa é representar geometricamente o conjunto de todos os pontos \,F(t) para t>0.

Passo 2

O que significa “imagem” aqui? A imagem de F é o conjunto
\operatorname{Im}(F)=\{F(t)\in\mathbb{R}^3:\;t>0\}.
Ou seja, todos os pontos \bigl(t,t,\tfrac{1}{t}\bigr) com t positivo. Para desenhar, é útil transformar essa descrição paramétrica numa descrição geométrica sem parâmetro (eliminar t).

Passo 3

Eliminar o parâmetro: como x=t e y=t, obtemos imediatamente
x=y.
Também temos z=\dfrac{1}{t}. Substituindo t=x (porque t=x), vem
z=\frac{1}{x},
válido para x>0. Multiplicando, outra forma conveniente é
xz=1,\qquad x>0.
Portanto a imagem é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as equações
x-y=0\quad\text{e}\quad xz=1,
com x>0.

Passo 4

Interpretação geométrica: a primeira equação x-y=0 é o plano \{(x,y,z):x=y\} (um plano vertical que atravessa a reta x=y no plano z=0). A segunda equação xz=1 é uma superfície hiperbólica (uma “superfície hiperbólica” no sentido de ser o gráfico de z=1/x visto em variáveis x,z). A imagem é a curva de interseção desses dois objetos: a interseção do plano x=y com a superfície xz=1.

Passo 5

Forma mais direta e útil para desenhar: como na interseção x=y podemos parametrizar por x (igual a t), a curva pode ser vista dentro do plano x=y como o gráfico da função univariada
z=\frac{1}{x},\qquad x>0.
Ou seja, dentro do plano x=y a imagem é exatamente a hipérbole z=1/x para x>0. Para esboçar, basta desenhar esse gráfico no plano x=y.

Passo 6

Pontos de referência (peguei estes valores substituindo diferentes t na definição):
\begin{aligned} t=1 &\Rightarrow (1,1,1),\\\ t=2 &\Rightarrow \bigl(2,2,\tfrac{1}{2}\bigr),\\\ t=\tfrac{1}{2} &\Rightarrow \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},2\bigr),\\\ t=\tfrac{1}{10} &\Rightarrow \bigl(\tfrac{1}{10},\tfrac{1}{10},10\bigr),\\\ t=5 &\Rightarrow \bigl(5,5,\tfrac{1}{5}\bigr). \end{aligned}
Esses pontos mostram como a curva se comporta: quando t é pequeno ( t\to0^+) temos z\to+\infty e o ponto fica perto da origem nas projeções x,y mas sobe muito em z; quando t\to+\infty temos z\to0^+ e o ponto desloca-se para longe na direção x=y aproximando-se do plano z=0.

Passo 7

Comportamento e características úteis para o desenho:
  • A curva fica inteiramente no primeiro octante porque x=t>0, y=t>0 e z=1/t>0.
  • Não há auto-interseção: a parametrização é injetora (valores diferentes de t dão pontos diferentes).
  • Assimptótica: quando t\to+\infty, a curva aproxima-se da reta direcional \{(x,x,0):x>0\} (ou seja, aproxima-se do plano z=0 seguindo a linha x=y); quando t\to0^+, z cresce sem limite (vai para +\infty).
  • Derivada/declive dentro do plano x=y: F'(t)=(1,1,-1/t^2). Como x=t, a inclinação no plano (razão \mathrm{d}z/\mathrm{d}x) é
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{x^2},
negativa e com valor absoluto decrescendo quando x aumenta (curva fica mais “horizontal” para x grandes).

Passo 8

Como desenhar passo a passo (prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x,y,z e marque o primeiro octante.
  2. Trace o plano vertical x=y (uma folha inclinada a 45° em relação aos eixos x e y).
  3. No plano x=y, use um sistema de coordenadas com eixo horizontal e vertical correspondendo a x (na direção da reta x=y) e z.
  4. Desenhe o gráfico z=1/x para x>0 nesse plano: passe pelos pontos listados em passo 6 e conecte suavemente, lembrando que a curva decresce e tende a z=0 quando x\to\infty e dispara para +\infty quando x\to0^+.
  5. O resultado é uma curva tipo “hipérbole” no plano x=y, inteira no primeiro octante.

Resposta

A imagem é a curva \{(t,t,\tfrac{1}{t}):t>0\}, que é a interseção do plano x=y com a superfície xz=1; geometricamente é a hipérbole z=1/x para x>0 contida no plano x=y, situada no primeiro octante.

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