Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
y=\frac{3 x}{1+5 x^{2}}, \quad\left(1, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a reta tangente:
y=\frac{3x}{1+5x^{2}},\qquad \left(1,\frac{1}{2}\right).
A pergunta é: encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
As informações relevantes são: a expressão de y em função de x e as coordenadas do ponto de tangência \left(1,\frac{1}{2}\right).

Passo 2

O que precisamos fazer para obter a reta tangente?
Uma reta tangente num ponto tem a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular) que a curva naquele ponto. Essa inclinação é dada pela derivada da função avaliada em x igual à abscissa do ponto. Em palavras: calcular y'(x) e depois calcular y'(1).
Rápida explicação do que é derivada: a derivada y'(x) representa o limite da taxa de variação média quando o incremento tende a zero — geometricamente é a inclinação da reta tangente. Para evitar fazer o limite direto, usamos regras de diferenciação (como a regra do quociente, produto, cadeia etc.) que dão fórmulas prontas para calcular y'(x).

Passo 3

Escolhemos usar a regra do quociente porque a função está escrita como razão de duas funções. A regra do quociente diz: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
y'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui identificamos:
u(x)=3x,\qquad v(x)=1+5x^{2}.
Agora calculemos u'(x) e v'(x):
u'(x)=3,\qquad v'(x)=10x.
Expliquei: u'(x) é a derivada de 3x (coeficiente 3) e v'(x) é a derivada de 1+5x^{2}, usando que a derivada de x^{2} é 2x, então 5\cdot 2x=10x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente passo a passo:
y'(x)=\frac{3\,(1+5x^{2})-3x\,(10x)}{(1+5x^{2})^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
3\,(1+5x^{2})-3x\,(10x)=3+15x^{2}-30x^{2}=3-15x^{2}.
Fatorando 3 no numerador obtemos a forma compacta
y'(x)=\frac{3(1-5x^{2})}{(1+5x^{2})^{2}}.
Aqui mostrei cada subtração: 15x^{2}-30x^{2}=-15x^{2}, somando com o 3 3-15x^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos a derivada no ponto x=1 para obter a inclinação m:
y'(1)=\frac{3(1-5\cdot 1^{2})}{(1+5\cdot 1^{2})^{2}}=\frac{3(1-5)}{(1+5)^{2}}=\frac{3(-4)}{6^{2}}=\frac{-12}{36}=-\frac{1}{3}.
Expliquei os passos: 1-5=-4, 1+5=6, 6^{2}=36, então -12/36=-1/3.

Passo 6

Com a inclinação m=-\dfrac{1}{3} e sabendo que a reta passa por \left(1,\dfrac{1}{2}\right), usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo y_{0}=\dfrac{1}{2}, x_{0}=1 e m=-\dfrac{1}{3}:
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}(x-1).
Agora simplificamos para a forma \;y=mx+b\;. Primeiro expandimos o lado direito:
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}.
Somando \dfrac{1}{2} em ambos os lados:
y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.
Somando as frações \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{6}, então
y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}.

Passo 7

Checagem rápida (para ficar mais seguro e confiante): substituindo x=1 na reta obtemos y=-\dfrac{1}{3}\cdot 1+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{-2+5}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}, que é a ordenada do ponto dado — perfeito. A inclinação também confere com y'(1)=-\dfrac{1}{3}.

Resposta

y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}

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