Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
.
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a reta tangente:
A pergunta é: encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
As informações relevantes são: a expressão de em função de
e as coordenadas do ponto de tangência
.
As informações relevantes são: a expressão de
Passo 2
O que precisamos fazer para obter a reta tangente?
Uma reta tangente num ponto tem a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular) que a curva naquele ponto. Essa inclinação é dada pela derivada da função avaliada em igual à abscissa do ponto. Em palavras: calcular
e depois calcular
.
Rápida explicação do que é derivada: a derivada representa o limite da taxa de variação média quando o incremento tende a zero — geometricamente é a inclinação da reta tangente. Para evitar fazer o limite direto, usamos regras de diferenciação (como a regra do quociente, produto, cadeia etc.) que dão fórmulas prontas para calcular
.
Uma reta tangente num ponto tem a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular) que a curva naquele ponto. Essa inclinação é dada pela derivada da função avaliada em
Rápida explicação do que é derivada: a derivada
Passo 3
Escolhemos usar a regra do quociente porque a função está escrita como razão de duas funções. A regra do quociente diz: se
então
Aqui identificamos:
Agora calculemos
e
:
Expliquei:
é a derivada de
(coeficiente 3) e
é a derivada de
, usando que a derivada de
é
, então
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente passo a passo:
Agora simplificamos o numerador:
Fatorando
no numerador obtemos a forma compacta
Aqui mostrei cada subtração:
, somando com o
dá
.
Passo 5
Agora avaliamos a derivada no ponto
para obter a inclinação
:
Expliquei os passos:
,
,
, então
.
Passo 6
Com a inclinação
e sabendo que a reta passa por
, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
Substituindo
,
e
:
Agora simplificamos para a forma
. Primeiro expandimos o lado direito:
Somando
em ambos os lados:
Somando as frações
, então
Passo 7
Checagem rápida (para ficar mais seguro e confiante): substituindo
na reta obtemos
, que é a ordenada do ponto dado — perfeito. A inclinação também confere com
.