Use a definição de derivada para mostrar que, se f(x)=1 / x, então f^{\prime}(x)=-1 / x^{2}. (isso demonstra a Regra da Potência para o caso n=-1.)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\dfrac{1}{x} e pede para mostrar, usando a definição de derivada, que f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Devemos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).
  • Importante: o domínio de f é todos os x tais que x\neq 0.

Passo 2

Esclarecendo a definição de derivada que vamos usar. A derivada de uma função f num ponto x é dada por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • x é o ponto onde queremos a derivada;
  • h é um incremento pequeno que tende a zero;
  • o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a inclinação média (coeficiente angular) do segmento que liga (x,f(x)) a (x+h,f(x+h));
  • ao fazer h\to 0 obtemos a inclinação instantânea (a derivada).
    Vamos aplicar essa definição à nossa f(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Substituindo f(x)=\dfrac{1}{x} na fórmula do quociente incremental temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro colocamos as frações sobre um denominador comum:
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}.
Observe que no numerador x-(x+h)=x-x-h=-h. Então
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{-h}{x(x+h)}.

Passo 4

Voltando ao quociente dividido por h, temos
\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h} =\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}.
Uma fração dividida por h é a mesma coisa que multiplicar por \dfrac{1}{h}, logo
\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}=\frac{-h}{x(x+h)}\cdot\frac{1}{h}.
Como estamos considerando h\neq 0 (o quociente não é definido exatamente em h=0, mas o limite é tomado para h\to 0), podemos cancelar o fator h no numerador com o h do denominador, obtendo a expressão simplificada
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\frac{1}{x(x+h)}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0. A função g(h)=-\dfrac{1}{x(x+h)} é contínua em h próximo de 0 desde que x\neq 0 (pois então x+h fica próximo de x e não é zero). Pela continuidade, podemos avaliar o limite substituindo h=0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{x(x+h)}\right)=-\frac{1}{x(x+0)}=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a derivada existe para todo x\neq 0 e é -\dfrac{1}{x^{2}}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^{2}},\quad x\neq 0

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