Use a definição de derivada para mostrar que, se
, então
. (isso demonstra a Regra da Potência para o caso
.)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar, usando a definição de derivada, que
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Devemos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).
- Importante: o domínio de
é todos os tais que .
Passo 2
Esclarecendo a definição de derivada que vamos usar. A derivada de uma função
num ponto
é dada por
Aqui:
-
é o ponto onde queremos a derivada; -
é um incremento pequeno que tende a zero; - o quociente
é a inclinação média (coeficiente angular) do segmento que liga a ; - ao fazer
obtemos a inclinação instantânea (a derivada).
Vamos aplicar essa definição à nossa.
Passo 3
Substituindo
na fórmula do quociente incremental temos
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro colocamos as frações sobre um denominador comum:
Observe que no numerador
. Então
Passo 4
Voltando ao quociente dividido por
, temos
Uma fração dividida por
é a mesma coisa que multiplicar por
, logo
Como estamos considerando
(o quociente não é definido exatamente em
, mas o limite é tomado para
), podemos cancelar o fator
no numerador com o
do denominador, obtendo a expressão simplificada
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. A função
é contínua em
próximo de
desde que
(pois então
fica próximo de
e não é zero). Pela continuidade, podemos avaliar o limite substituindo
:
Portanto a derivada existe para todo
e é
.