Derive a função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está dada pela expressão acima. - Para que as potências fracionárias e a divisão façam sentido em números reais, devemos considerar
(ou então trabalhar em números complexos, mas aqui assumimos o caso real). - Objetivo claro: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão por divisão de potências, porque é muito mais fácil derivar uma soma de potências do que uma fração. Lembre que ao dividir potências com mesma base somamos (na verdade subtraímos) os expoentes:
Aplicando isso termo a termo:
Calculando os expoentes:
Portanto
Passo 3
Agora vamos lembrar as regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então . - Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, se
é constante e é uma função, . - Regra da potência (power rule): para
real,
Aqui
é a variável independente e
é o expoente. Essa fórmula é válida para expoentes fracionários e reais quando se está no domínio
.
Vou aplicar essas regras aos termos
e
.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
:
usar a regra do fator constante com e a regra da potência com
.
usar a regra do fator constante com
Passo 5
Derivada do segundo termo
:
aplicar a regra da potência com .
aplicar a regra da potência com
Passo 6
Somando as derivadas (regra da soma):
Fatorando
:
Escrevendo em radicais (mais intuitivo) temos
e
, então
Podemos também juntar em uma única fração com denominador
:
Lembre-se: essa forma é válida para
.
Passo 7
Resumo didático rápido e um exemplo ekstra (pra fixar):
- Se você tem
, a derivada é . Ex.: . - Aqui usamos isso em cada termo após simplificar a fração inicial.
- Mantenha em mente o domínio
quando trabalhar com potências fracionárias e raízes.