Derive a função:
G(r)=\frac{3 r^{3 / 2}+r^{5 / 2}}{r}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
G(r)=\frac{3 r^{3/2}+r^{5/2}}{r}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função G está dada pela expressão acima.
  • Para que as potências fracionárias e a divisão façam sentido em números reais, devemos considerar r>0 (ou então trabalhar em números complexos, mas aqui assumimos o caso real).
  • Objetivo claro: encontrar G'(r), a derivada de G em relação a r.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão por divisão de potências, porque é muito mais fácil derivar uma soma de potências do que uma fração. Lembre que ao dividir potências com mesma base somamos (na verdade subtraímos) os expoentes:
\frac{r^{a}}{r^{b}}=r^{a-b}.
Aplicando isso termo a termo:
G(r)=\frac{3 r^{3/2}}{r}+\frac{r^{5/2}}{r}=3 r^{3/2-1}+r^{5/2-1}.
Calculando os expoentes:
3/2-1=1/2,\qquad 5/2-1=3/2.
Portanto
G(r)=3 r^{1/2}+r^{3/2}.

Passo 3

Agora vamos lembrar as regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se F(r)=A(r)+B(r), então F'(r)=A'(r)+B'(r).
  • Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, se c é constante e f(r) é uma função, (c\cdot f(r))' = c\cdot f'(r).
  • Regra da potência (power rule): para n real,
\frac{d}{dr}\bigl(r^{n}\bigr)=n\,r^{n-1}.
Aqui r é a variável independente e n é o expoente. Essa fórmula é válida para expoentes fracionários e reais quando se está no domínio r>0.
Vou aplicar essas regras aos termos 3 r^{1/2} e r^{3/2}.

Passo 4

Derivada do primeiro termo 3 r^{1/2}:
usar a regra do fator constante com c=3 e a regra da potência com n=1/2.
\frac{d}{dr}\bigl(3 r^{1/2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dr}\bigl(r^{1/2}\bigr)=3\cdot\left(\tfrac{1}{2} r^{1/2-1}\right)=3\cdot\tfrac{1}{2}\,r^{-1/2}=\tfrac{3}{2}r^{-1/2}.

Passo 5

Derivada do segundo termo r^{3/2}:
aplicar a regra da potência com n=3/2.
\frac{d}{dr}\bigl(r^{3/2}\bigr)=\tfrac{3}{2}r^{3/2-1}=\tfrac{3}{2}r^{1/2}.

Passo 6

Somando as derivadas (regra da soma):
G'(r)=\tfrac{3}{2}r^{-1/2}+\tfrac{3}{2}r^{1/2}.
Fatorando \tfrac{3}{2}:
G'(r)=\tfrac{3}{2}\bigl(r^{-1/2}+r^{1/2}\bigr).
Escrevendo em radicais (mais intuitivo) temos r^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{r}} e r^{1/2}=\sqrt{r}, então
G'(r)=\tfrac{3}{2}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{r}}+\sqrt{r}\right).
Podemos também juntar em uma única fração com denominador \sqrt{r}:
G'(r)=\tfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1+r}{\sqrt{r}}=\dfrac{3(1+r)}{2\sqrt{r}}.
Lembre-se: essa forma é válida para r>0.

Passo 7

Resumo didático rápido e um exemplo ekstra (pra fixar):
  • Se você tem r^{n}, a derivada é n r^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dr}(r^{5/2})=\tfrac{5}{2}r^{3/2}.
  • Aqui usamos isso em cada termo após simplificar a fração inicial.
  • Mantenha em mente o domínio r>0 quando trabalhar com potências fracionárias e raízes.

Resposta

\dfrac{3(1+r)}{2\sqrt{r}}

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