Encontre a equação da reta tangente a curva y=x \cos x-e^{x} e que passa pelo ponto x=0, y=-1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = x\cos x - e^x
que passe pelo ponto (0,-1).
Para isso vamos (a) verificar se esse ponto pertence à curva, (b) calcular a derivada y'(x), (c) avaliá-la em x=0 para obter o coeficiente angular e (d) montar a equação da reta.

Passo 2

Verificamos se (0,-1) está na curva, calculando
y(0) = 0\cdot\cos 0 - e^0 = 0 - 1 = -1.
Como y(0) = -1, o ponto pertence à curva e é o ponto de tangência.

Passo 3

Derivamos y:
y = x\cos x - e^x
y'(x) = \frac{d}{dx}(x\cos x) - \frac{d}{dx}(e^x) = (\cos x - x\sin x) - e^x = \cos x - x\sin x - e^x.

Passo 4

Avaliamos a derivada em x=0:
y'(0) = \cos 0 - 0\cdot\sin 0 - e^0 = 1 - 0 - 1 = 0.
Logo, o coeficiente angular da tangente é m=0.

Passo 5

A equação da reta tangente em (0,-1) com coeficiente angular m=0 é
y - y_0 = m\,(x - x_0)
substituindo x_0=0, y_0=-1 e m=0:
y - (-1) = 0\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -1.

Resposta

A reta tangente é
y = -1.

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