Quantos valores de \theta \in[0,2 \pi] satisfazem à equação \operatorname{sen}(2 \theta)=\cos (2 \theta) ?
(A) 0 , ou seja, não há nenhuma solução
(B) 1
(C) 2
(D) 4
(E) 8

Passo 1

O enunciado pede os valores de \theta\in[0,2\pi] tais que
\operatorname{sen}(2\theta)=\cos(2\theta).
Isso é uma equação trigonométrica básica: vamos transformá-la em uma equação com a tangente, pois \tan x=\operatorname{sen} x/\cos x sempre que \cos x\neq0.

Passo 2

Verificamos que, se \cos(2\theta)=0, então \operatorname{sen}(2\theta)=\pm1, de modo que \operatorname{sen}(2\theta)\neq\cos(2\theta). Logo podemos dividir ambos os lados por \cos(2\theta) sem perda de soluções relevantes, obtendo
\tan(2\theta)=1.

Passo 3

A solução geral de \tan(2\theta)=1 é
2\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Assim,
\theta = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}.

Passo 4

Agora encontramos os k inteiros que geram \theta\in[0,2\pi].
Para k=0 temos \theta=\pi/8.
Para k=1 temos \theta=\pi/8+\pi/2=5\pi/8.
Para k=2 temos \theta=\pi/8+\pi=9\pi/8.
Para k=3 temos \theta=\pi/8+3\pi/2=13\pi/8.
Para k=4 daria \theta=17\pi/8>2\pi, e para k<0 fica negativo.
Logo há exatamente quatro soluções.

Resposta

(D) 4

Exercícios relacionados