Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5 / (1 + x^2), nos seguintes pontos:
(b) (1, 5/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas tangentes. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Vamos derivar usando a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, fica mais fácil usar a regra da cadeia. Reescrevendo a função:
Agora, aplicando a derivada:
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Agora, vamos simplificar essa equação:
Somando dos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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