Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5 / (1 + x^2), nos seguintes pontos:
(a) 0,5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, pra achar a inclinação da reta tangente. Então, basicamente, vamos:
  1. Confirmar que o ponto está na função.
  2. Calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente.
  3. Usar a equação da reta tangente com o ponto e a inclinação encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o ponto realmente está no gráfico da função. Substituindo na função:
Então, sim, o ponto está no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, que neste caso será a inclinação da reta tangente.
Podemos reescrever a função como para facilitar a derivação usando a regra do poder:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 0.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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