Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
Passo 1
O enunciado pede: “encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado”. Os dados fornecidos são:
- As coordenadas paramétricas da curva:
- O valor do parâmetro onde queremos a tangente:
.
O que se quer então é a equação da reta tangente à curva parametrizada por
no ponto correspondente a
.
Passo 2
Vamos primeiro achar as coordenadas do ponto da curva em
. Observação: vou tratar
como
(mesma função trigonométrica).
Calcular
:
Calcular
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 3
Para uma curva dada parametricamente por
e
, a inclinação (coeficiente angular) da tangente no ponto
é dada por
desde que
. Esta fórmula vem da regra da cadeia:
e
.
Então precisamos calcular
e
e avaliá-los em
.
Passo 4
Calcular
. Partindo de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é vezes a derivada interna (regra da cadeia), ou seja .
Assim,
Passo 5
Calcular
. Partindo de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é ; como temos , a derivada desse termo é .
Assim,
Passo 6
Avaliar as derivadas em
. Usar
e
, além de
e
.
Calcular
:
Calcular
:
Então a inclinação da tangente é
Passo 7
Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente: para ponto
e inclinação
,
Substituindo:
Podemos reorganizar para uma forma mais clássica multiplicando por
: