Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=\cos \theta - \operatorname{sen} 2 \theta, \quad y=\operatorname{sen} \theta - \cos 2 \theta ; \quad \theta=0

Passo 1

O enunciado pede: “encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado”. Os dados fornecidos são:
  • As coordenadas paramétricas da curva:
x(\theta)=\cos\theta-\operatorname{sen}2\theta, \qquad y(\theta)=\operatorname{sen}\theta-\cos2\theta.
  • O valor do parâmetro onde queremos a tangente: \theta=0.
O que se quer então é a equação da reta tangente à curva parametrizada por (x(\theta),y(\theta)) no ponto correspondente a \theta=0.

Passo 2

Vamos primeiro achar as coordenadas do ponto da curva em \theta=0. Observação: vou tratar \operatorname{sen} como \sin (mesma função trigonométrica).
Calcular x(0):
x(0)=\cos 0-\sin(2\cdot 0)=1-0=1.
Calcular y(0):
y(0)=\sin 0-\cos(2\cdot 0)=0-1=-1.
Portanto o ponto de tangência é (x_0,y_0)=(1,-1).

Passo 3

Para uma curva dada parametricamente por x(\theta) e y(\theta), a inclinação (coeficiente angular) da tangente no ponto \theta é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}},
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq0. Esta fórmula vem da regra da cadeia: dy/dx=(dy/d\theta)\cdot(d\theta/dx) e d\theta/dx=1/(dx/d\theta).
Então precisamos calcular dx/d\theta e dy/d\theta e avaliá-los em \theta=0.

Passo 4

Calcular dx/d\theta. Partindo de x(\theta)=\cos\theta-\sin2\theta:
  • A derivada de \cos\theta é -\sin\theta.
  • A derivada de \sin2\theta é \cos2\theta vezes a derivada interna 2 (regra da cadeia), ou seja 2\cos2\theta.
    Assim,
\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta-2\cos2\theta.

Passo 5

Calcular dy/d\theta. Partindo de y(\theta)=\sin\theta-\cos2\theta:
  • A derivada de \sin\theta é \cos\theta.
  • A derivada de \cos2\theta é -2\sin2\theta; como temos -\cos2\theta, a derivada desse termo é -(-2\sin2\theta))=+2\sin2\theta.
    Assim,
\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta+2\sin2\theta.

Passo 6

Avaliar as derivadas em \theta=0. Usar \sin0=0 e \cos0=1, além de \sin(2\cdot0)=0 e \cos(2\cdot0)=1.
Calcular \dfrac{dx}{d\theta}\bigg|_{\theta=0}:
\frac{dx}{d\theta}(0)=-\sin 0-2\cos 0=-0-2\cdot1=-2.
Calcular \dfrac{dy}{d\theta}\bigg|_{\theta=0}:
\frac{dy}{d\theta}(0)=\cos 0+2\sin 0=1+2\cdot0=1.
Então a inclinação da tangente é
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=0}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente: para ponto (x_0,y_0)=(1,-1) e inclinação m=-\tfrac{1}{2},
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo:
y+1=-\tfrac{1}{2}(x-1).
Podemos reorganizar para uma forma mais clássica multiplicando por 2:
2(y+1)=-(x-1)\quad\Longrightarrow\quad x+2y+1=0.

Resposta

x+2y+1=0

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