Construa o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede construir o gráfico da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é definida por
para todo . - O objetivo é visualizar (desenhar) o comportamento de
ao longo da reta real.
Passo 2
Vamos lembrar a definição do valor absoluto, que é crucial para transformar a função em uma forma que dá para desenhar facilmente:
Isto quer dizer que, ao resolver
, devemos tratar separadamente os casos
e
. Isso se chama escrever a função por partes (piecewise), o que é uma técnica padrão para funções que envolvem
.]
Passo 3
Aplicando a definição do valor absoluto em cada caso:
- Se
, então e
- Se
, então e
Portanto obtêm‑se a forma por partes
Passo 4
Vamos calcular alguns pontos fáceis para ancorar o desenho (cada número e par ordenado está em TeX):
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto .
Esses pontos mostram a forma: para
os valores são positivos e crescem como
; para
os valores são negativos e têm a forma de
.
Passo 5
Interpretação geométrica (como desenhar):
- No lado direito (
) a curva é a parábola padrão voltada para cima dada por restrita a . - No lado esquerdo (
) a curva é a parábola voltada para baixo dada por restrita a . - As duas partes se encontram em
. Logo o gráfico é formado por duas “meias‑parábolas” que se unem no eixo vertical.
Para desenhar: trace os eixos, marque os pontos do Passo 4 e faça a metade direita da parábola
e a metade esquerda da parábola
. A junção em
é suave (veja próximos passos).
Passo 6
Continuidade e diferenciabilidade em
:
- Limites laterais em
:
Como ambos os limites dão
e
, a função é contínua em
.
- Derivadas laterais:
Paratemos . Para temos .
As derivadas laterais em
coincidem (=0), logo
é diferenciável em
e
. Assim a junção é suave.
Passo 7
Propriedades adicionais que ajudam no esboço:
- Simetria:
é ímpar, pois
Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.
- Monotonicidade: para
tem-se ; para tem‑se . Portanto é estritamente crescente em . - Comportamento nas extremidades:
Passo 8
Resumo prático para desenhar no tempo de prova (passo a passo curto):
- Desenhe os eixos e marque
. - No lado direito, desenhe a parábola
somente para , passando por , . - No lado esquerdo, desenhe a parábola
somente para , passando por , . - Verifique que as duas metades se encontram suavemente em
. Pronto — esse é o gráfico de .