Construa o gráfico das funções abaixo:
h(x)=x|x|

Passo 1

O enunciado pede construir o gráfico da função h(x)=x|x|.
Informações dadas:
  • A função é definida por h(x)=x|x| para todo x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo é visualizar (desenhar) o comportamento de h ao longo da reta real.

Passo 2

Vamos lembrar a definição do valor absoluto, que é crucial para transformar a função em uma forma que dá para desenhar facilmente:
|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Isto quer dizer que, ao resolver h(x)=x|x|, devemos tratar separadamente os casos x\ge 0 e x<0. Isso se chama escrever a função por partes (piecewise), o que é uma técnica padrão para funções que envolvem |x|.]

Passo 3

Aplicando a definição do valor absoluto em cada caso:
  • Se x\ge 0, então |x|=x e
h(x)=x\cdot x = x^2.
  • Se x<0, então |x|=-x e
h(x)=x\cdot(-x) = -x^2.
Portanto obtêm‑se a forma por partes
h(x)=\begin{cases} -x^2, & x<0,\\[4pt] x^2, & x\ge 0. \end{cases}]

Passo 4

Vamos calcular alguns pontos fáceis para ancorar o desenho (cada número e par ordenado está em TeX):
  • h(-2)= -(-2)^2 = -4 → ponto (-2,-4).
  • h(-1)= -(-1)^2 = -1 → ponto (-1,-1).
  • h(0)= 0\cdot|0| = 0 → ponto (0,0).
  • h(1)= 1\cdot|1| = 1 → ponto (1,1).
  • h(2)= 2\cdot|2| = 4 → ponto (2,4).
Esses pontos mostram a forma: para x>0 os valores são positivos e crescem como x^2; para x<0 os valores são negativos e têm a forma de -x^2.

Passo 5

Interpretação geométrica (como desenhar):
  • No lado direito ( x\ge 0) a curva é a parábola padrão voltada para cima dada por \;y=x^2\; restrita a x\ge 0.
  • No lado esquerdo ( x<0) a curva é a parábola voltada para baixo dada por \;y=-x^2\; restrita a x<0.
  • As duas partes se encontram em (0,0). Logo o gráfico é formado por duas “meias‑parábolas” que se unem no eixo vertical.
Para desenhar: trace os eixos, marque os pontos do Passo 4 e faça a metade direita da parábola y=x^2 e a metade esquerda da parábola y=-x^2. A junção em (0,0) é suave (veja próximos passos).

Passo 6

Continuidade e diferenciabilidade em x=0:
  • Limites laterais em 0:
\lim_{x\to 0^-} h(x)=\lim_{x\to 0^-} -x^2 = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} h(x)=\lim_{x\to 0^+} x^2 = 0.
Como ambos os limites dão 0 e h(0)=0, a função é contínua em 0.
  • Derivadas laterais:
    Para x>0 temos h'(x)=2x. Para x<0 temos h'(x)=-2x.
\lim_{x\to 0^+} h'(x)=\lim_{x\to 0^+} 2x = 0, \qquad \lim_{x\to 0^-} h'(x)=\lim_{x\to 0^-} (-2x) = 0.
As derivadas laterais em 0 coincidem (=0), logo h é diferenciável em 0 e h'(0)=0. Assim a junção é suave.

Passo 7

Propriedades adicionais que ajudam no esboço:
  • Simetria: h é ímpar, pois
h(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-h(x).
Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.
  • Monotonicidade: para x>0 tem-se h'(x)=2x>0; para x<0 tem‑se h'(x)=-2x>0. Portanto h é estritamente crescente em \mathbb{R}.
  • Comportamento nas extremidades:
\lim_{x\to +\infty} h(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty} h(x)=-\infty.

Passo 8

Resumo prático para desenhar no tempo de prova (passo a passo curto):
  1. Desenhe os eixos e marque (0,0).
  2. No lado direito, desenhe a parábola y=x^2 somente para x\ge 0, passando por (1,1), (2,4).
  3. No lado esquerdo, desenhe a parábola y=-x^2 somente para x\le 0, passando por (-1,-1), (-2,-4).
  4. Verifique que as duas metades se encontram suavemente em (0,0). Pronto — esse é o gráfico de h.

Resposta

h(x)=\begin{cases} -x^2, & x<0,\\[4pt] x^2, & x\ge 0, \end{cases}]

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