Construa o gráfico das funções abaixo:
g(x)=-\left|x^{2}-3 x+2\right|

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função
g(x) = -\left|x^{2}-3x+2\right|
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão interna é a parábola \,x^{2}-3x+2.
  • Há um valor absoluto em volta dessa parábola e, por fim, um sinal negativo multiplicando tudo.
    O objetivo é obter uma descrição precisa (fórmula peça a peça e pontos importantes) que permita traçar o gráfico à mão.

Passo 2

Fatorar e analisar a parábola interna para encontrar raízes e vértice (isso nos ajuda a saber onde a expressão interna muda de sinal).
Fatoração:
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Então as raízes são \,x=1 e \,x=2 (onde a expressão interna vale zero).
Para achar o vértice da parábola \,f(x)=x^{2}-3x+2, uso a fórmula do eixo de simetria \,x_v = -\dfrac{b}{2a} para uma quadrática ax^2+bx+c. Aqui a=1 e b=-3, então
x_v = -\dfrac{-3}{2\cdot1} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5.
O valor no vértice é
f(1{,}5)= (1{,}5)^2 -3(1{,}5)+2 = 2{,}25 -4{,}5 +2 = -0{,}25.
Portanto o vértice de f é \left(1{,}5,\,-\tfrac{1}{4}\right).

Passo 3

Determinar o sinal de \,f(x)=x^{2}-3x+2 em intervalos:
  • Para x<1: como a quadrática tem raízes em 1 e 2 e abre para cima, \,f(x)>0.
  • Para 1<x<2: \,f(x)<0 (essa é a parte entre as raízes).
  • Para x>2: \,f(x)>0.
Explicação do efeito do valor absoluto e do sinal negativo:
g(x) = -|f(x)|.
Por definição de valor absoluto:
  • Se f(x)\ge 0 então |f(x)|=f(x) e assim g(x)=-f(x).
  • Se f(x)\le 0 então |f(x)|=-f(x) e assim g(x)= -(-f(x))=f(x).
Ou seja, em regiões onde f é não-negativa, g é a negativa de f; onde f é não-positiva, g coincide com f.

Passo 4

Escrever a função em forma peça-a-peça (essencial para desenhar):
\text{Para }x\le 1:\quad f(x)\ge0\Rightarrow g(x) = -f(x) = -x^{2}+3x-2.
\text{Para }1\le x\le 2:\quad f(x)\le0\Rightarrow g(x) = f(x) = x^{2}-3x+2.
\text{Para }x\ge 2:\quad f(x)\ge0\Rightarrow g(x) = -f(x) = -x^{2}+3x-2.
Observação importante: em x=1 e x=2 ambas as formas dão g=0, então a função é contínua nesses pontos.

Passo 5

Calcular pontos-chave para plotar (use esses pontos ao desenhar):
  • Zeros: \;g(1)=0 e \;g(2)=0 (retirados do fato de f(1)=f(2)=0).
  • Vértice da parte do meio (onde g coincide com f): já achamos \;g(1{,}5)=f(1{,}5)=-\tfrac{1}{4}.
  • Valores simétricos fora das raízes: por exemplo g(0) = -|0^2-0+2| = -2,\qquad g(3) = -|9-9+2| = -2.
  • Comportamento nas caudas: \lim_{x\to\pm\infty} g(x) = -\infty,porque fora do intervalo [1,2] g(x)=-x^2+3x-2 e esse termo vai para -\infty quando |x| cresce.

Passo 6

Como traçar o gráfico, passo a passo prático (o que você faz com lápis e papel):
  1. Marque os pontos \,(1,0) e \,(2,0).
  2. Entre x=1 e x=2 desenhe a porção da parábola que abre para cima dada por \,g(x)=x^{2}-3x+2. Essa porção passa pelo vértice \left(1{,}5,\,-\tfrac{1}{4}\right) (é uma pequena curva para baixo porque os valores são negativos ali).
  3. Para x\le 1 desenhe a porção da parábola \,g(x)=-x^{2}+3x-2 restrita ao intervalo (-\infty,1]. Essa é uma parábola que abre para baixo; desenhe apenas a parte até o ponto (1,0). Verifique pontos como (0,-2).
  4. Para x\ge 2 desenhe a mesma parábola para baixo \,g(x)=-x^{2}+3x-2 mas agora no intervalo [2,\infty), passando por (3,-2) etc.
  5. Conecte tudo suavemente: a função é contínua em todos os pontos, mas as derivadas mudam em x=1 e x=2 (há uma “quina” no encaixe porque a expressão mudou de ramo).
    Dica visual: imagine primeiro o gráfico de f(x)=x^2-3x+2. Aplicar |\cdot| iria refletir para cima qualquer parte que estivesse abaixo do eixo x. Depois aplicar o sinal negativo - vira todo o gráfico final para baixo. Ou use a peça-a-peça acima que é mais direta.

Passo 7

Propriedades finais e interpretação (úteis na prova):
  • Fórmula peça-a-peça final: g(x)=\begin{cases} -x^{2}+3x-2, & x\le 1,\\[4pt] x^{2}-3x+2, & 1\le x\le 2,\\[4pt] -x^{2}+3x-2, & x\ge 2. \end{cases}
  • Zeros: \,x=1 e \,x=2 (valores g=0).
  • Valor no meio: mínimo local em \,x=1{,}5 com \,g(1{,}5)=-\tfrac{1}{4}.
  • A função é sempre \le 0 (intervalo imagem (-\infty,0]).
  • Comportamento nas extremidades: vai para -\infty quando |x|\to\infty.]

Resposta

g(x)=\begin{cases} -x^{2}+3x-2, & x\le 1,\\[4pt] x^{2}-3x+2, & 1\le x\le 2,\\[4pt] -x^{2}+3x-2, & x\ge 2, \end{cases}
Zer os em \,(1,0) e \,(2,0).
Vértice/interior: \;\left(1{,}5,\,-\tfrac{1}{4}\right).
Valor em \,0: \;g(0)=-2.
Limite nas caudas: \;\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=-\infty.]

Exercícios relacionados