Construa o gráfico das funções abaixo: g(x)=-\left|x^{2}-3 x+2\right|
Passo 1
O enunciado pede: construir o gráfico da função
g(x) = -\left|x^{2}-3x+2\right|
Informações dadas que vamos usar:
A expressão interna é a parábola \,x^{2}-3x+2.
Há um valor absoluto em volta dessa parábola e, por fim, um sinal negativo multiplicando tudo.
O objetivo é obter uma descrição precisa (fórmula peça a peça e pontos importantes) que permita traçar o gráfico à mão.
Passo 2
Fatorar e analisar a parábola interna para encontrar raízes e vértice (isso nos ajuda a saber onde a expressão interna muda de sinal).
Fatoração:
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Então as raízes são \,x=1 e \,x=2 (onde a expressão interna vale zero).
Para achar o vértice da parábola \,f(x)=x^{2}-3x+2, uso a fórmula do eixo de simetria \,x_v = -\dfrac{b}{2a} para uma quadrática ax^2+bx+c. Aqui a=1 e b=-3, então
Observação importante: em x=1 e x=2 ambas as formas dão g=0, então a função é contínua nesses pontos.
Passo 5
Calcular pontos-chave para plotar (use esses pontos ao desenhar):
Zeros: \;g(1)=0 e \;g(2)=0 (retirados do fato de f(1)=f(2)=0).
Vértice da parte do meio (onde g coincide com f): já achamos \;g(1{,}5)=f(1{,}5)=-\tfrac{1}{4}.
Valores simétricos fora das raízes: por exemplog(0) = -|0^2-0+2| = -2,\qquad g(3) = -|9-9+2| = -2.
Comportamento nas caudas:\lim_{x\to\pm\infty} g(x) = -\infty,porque fora do intervalo [1,2]g(x)=-x^2+3x-2 e esse termo vai para -\infty quando |x| cresce.
Passo 6
Como traçar o gráfico, passo a passo prático (o que você faz com lápis e papel):
Marque os pontos \,(1,0) e \,(2,0).
Entre x=1 e x=2 desenhe a porção da parábola que abre para cima dada por \,g(x)=x^{2}-3x+2. Essa porção passa pelo vértice \left(1{,}5,\,-\tfrac{1}{4}\right) (é uma pequena curva para baixo porque os valores são negativos ali).
Para x\le 1 desenhe a porção da parábola \,g(x)=-x^{2}+3x-2 restrita ao intervalo (-\infty,1]. Essa é uma parábola que abre para baixo; desenhe apenas a parte até o ponto (1,0). Verifique pontos como (0,-2).
Para x\ge 2 desenhe a mesma parábola para baixo \,g(x)=-x^{2}+3x-2 mas agora no intervalo [2,\infty), passando por (3,-2) etc.
Conecte tudo suavemente: a função é contínua em todos os pontos, mas as derivadas mudam em x=1 e x=2 (há uma “quina” no encaixe porque a expressão mudou de ramo).
Dica visual: imagine primeiro o gráfico de f(x)=x^2-3x+2. Aplicar |\cdot| iria refletir para cima qualquer parte que estivesse abaixo do eixo x. Depois aplicar o sinal negativo - vira todo o gráfico final para baixo. Ou use a peça-a-peça acima que é mais direta.
Passo 7
Propriedades finais e interpretação (úteis na prova):
Zer os em \,(1,0) e \,(2,0).
Vértice/interior: \;\left(1{,}5,\,-\tfrac{1}{4}\right).
Valor em \,0: \;g(0)=-2.
Limite nas caudas: \;\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=-\infty.]