Encontre a equação vetorial da reta espacial que passa pelos pontos P_{0} e P_{1} abaixo.
P_{0}=(-2,4,-2), P_{1}=(-1,3,8)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta no espaço que passa pelos pontos P_{0}=(-2,4,-2) e P_{1}=(-1,3,8).
Para escrever essa equação, vamos usar a forma
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r_{0}}+t\,\mathbf{v},
onde \mathbf{r_{0}} é um ponto da reta e \mathbf{v} é um vetor diretor da reta.

Passo 2

Escolhemos \mathbf{r_{0}}=\overrightarrow{OP_{0}}=(-2,4,-2).
Agora calculamos o vetor diretor
\mathbf{v}=\overrightarrow{P_{0}P_{1}} =P_{1}-P_{0} =(-1,-\, ,\, ,\, )-(-2,4,-2).
Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
\mathbf{v} =\bigl(-1-(-2),\,3-4,\,8-(-2)\bigr) =(1,\,-1,\,10).

Passo 3

Substituindo \mathbf{r_{0}} e \mathbf{v} na forma vetorial, obtemos
\mathbf{r}(t) =(-2,4,-2)+t\,(1,-1,10), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(-2,4,-2)+t\,(1,-1,10),\quad t\in\mathbb{R}.

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