Encontre a equação vetorial da reta espacial que passa pelos pontos P_{0} e P_{1} abaixo.
P_{0}=(2,1,4), P_{1}=(1,4,5)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta no espaço que passa pelos pontos \,P_{0}=(2,1,4) e P_{1}=(1,4,5).
O conteúdo envolve geometria analítica de vetores: para escrever a reta, precisamos de um ponto inicial e de um vetor direção.

Passo 2

Vamos encontrar o vetor direção \mathbf{d} subtraindo coordenada a coordenada:
\mathbf{d} = P_{1} - P_{0} = (1-2,\;4-1,\;5-4) = (-1,\;3,\;1).
Na prática, \mathbf{d} indica para onde “aponta” a reta a partir de P_{0}.

Passo 3

A definição da equação vetorial de uma reta diz que, dado um ponto P_{0} e um vetor direção \mathbf{d}, todos os pontos \mathbf{r}(t) da reta são dados por
\mathbf{r}(t) = P_{0} + t\,\mathbf{d},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Substituindo P_{0}=(2,1,4) e \mathbf{d}=(-1,3,1), obtemos

Resposta

\mathbf{r}(t) = (2,1,4) + t\,(-1,3,1),\quad t\in\mathbb{R}.

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