Encontre as equações das esferas com centro (2,-3,6) que toquem
o plano x y

Passo 1

O enunciado nos dá o centro da esfera como (2,-3,6) e pede que ela seja tangente ao plano xy, que é o plano ,z=0. Para resolver, vamos usar o fato de que, para uma esfera ser tangente a um plano, seu raio deve ser igual à distância do centro da esfera ao plano.

Passo 2

A equação geral de uma esfera de centro (a,b,c) e raio r é
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
No nosso caso, (a,b,c)=(2,-3,6), logo a equação fica
(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-6)^2 = r^2

Passo 3

A distância d do ponto (2,-3,6) ao plano z=0 é dada por
d = l|6 - 0r| = 6

Passo 4

Para que a esfera seja tangente ao plano z=0, basta igualar o raio r à distância d, ou seja
r = d = 6

Passo 5

Substituindo r=6 na equação da esfera, obtemos
(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-6)^2 = 6^2 = 36

Resposta

(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-6)^2 = 36

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