Determine se o conjunto u, v, w, onde u=(1,2,0), v=(3,0,1) e w=(2,-2,1) é L.I. em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores u,v,wsubsetR^3, com
u=(1,2,0), v=(3,0,1), w=(2,-2,1),
é linearmente independente. Para isso, vamos usar o fato de que eles são L.I. se, na combinação homogênea
a,u + b,v + c,w = (0,0,0),
a única solução for a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação
a,(1,2,0) + b,(3,0,1) + c,(2,-2,1) = (0,0,0)
em coordenadas, obtemos o sistema
a + 3b + 2c = 0, 2a ;+; 0b ;-;2c = 0, 0a + b + c = 0

Passo 3

Da segunda equação,
2a - 2c = 0 Longrightarrow a = c
Da terceira,
b + c = 0 Longrightarrow b = -c
Substituindo a=c e b=-c na primeira:
c + 3(-c) + 2c = c -3c +2c = 0,
que vale para todo c. Logo temos infinitas soluções dadas por
(a,b,c) = (c,,-c,,c), cinR

Passo 4

Como existe solução não-trivial (por exemplo c=1 (a,b,c)=(1,-1,1), ou seja u - v + w = 0), concluímos que há dependência linear entre os vetores.

Resposta

O conjunto u,v,w é linearmente dependente em R^3.

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