O enunciado pede uma transformação linear cujo núcleo é o subespaço gerado por e cuja imagem é o subespaço gerado pelos vetores e . Vamos usar o teorema do posto e nulidade, estender uma base de a uma base de e definir nesses vetores de forma a obter a imagem desejada.
Passo 2
Como e devem somar 3 (pela dimensão do domínio), tudo está consistente. Seja um gerador de . Para completar uma base de , escolhemos
de modo que é base de .
Passo 3
Definimos nessa base de forma a garantir a imagem certa e o núcleo correto:
Passo 4
Para obter a matriz na base canônica de , note que
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Assim as colunas da matriz de são , ou seja,
Resposta
Uma escolha válida é
T(x,y,z)=l(x - z,;y + z,;-y - z,;x - zr),
cuja matriz na base canônica é
1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1 ,
verificando ker T=[(1,-1,1)] e Im,T=[(1,0,0,1),(0,1,-1,0)].