Encontre uma transformação linear T: R^3 R^4 tal que
Nuc(T) & =[(1,-1,1)] e Im(T) & =[(1,0,0,1),(0,1,-1,0)]

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^4 cujo núcleo é o subespaço gerado por (1,-1,1) e cuja imagem é o subespaço gerado pelos vetores (1,0,0,1) e (0,1,-1,0). Vamos usar o teorema do posto e nulidade, estender uma base de ker T a uma base de R^3 e definir T nesses vetores de forma a obter a imagem desejada.

Passo 2

Como dim(ker T)=1 e dim(Im,T)=2 devem somar 3 (pela dimensão do domínio), tudo está consistente. Seja v3=(1,-1,1) um gerador de ker T. Para completar uma base de R^3, escolhemos
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),
de modo que e1,e2,v3 é base de R^3.

Passo 3

Definimos T nessa base de forma a garantir a imagem certa e o núcleo correto:
T(e1) = (1,0,0,1), T(e2) = (0,1,-1,0), T(v3) = 0

Passo 4

Para obter a matriz na base canônica e1,e2,e3 de R^3, note que
v3=e1-e2+e3 implies 0=T(v3)=T(e1)-T(e2)+T(e3),
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T(e3)=T(e2)-T(e1)=(0,1,-1,0)-(1,0,0,1)=(-1,1,-1,-1)
Assim as colunas da matriz de T são T(e1),T(e2),T(e3), ou seja,
A= 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1

Resposta

Uma escolha válida é
T(x,y,z)=l(x - z,;y + z,;-y - z,;x - zr),
cuja matriz na base canônica é
1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1 ,
verificando ker T=[(1,-1,1)] e Im,T=[(1,0,0,1),(0,1,-1,0)].

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