Encontre as equações de estado para um sistema com a equação fundamental u=(ThetaR) s^2-(R Thetav0^2) v^2, e mostre que ^|=-|.

Passo 1

O enunciado diz: “Temos a equação fundamental
u(s,v)=ThetaR,s^2 ;-;R,Thetav0^2,v^2
e precisamos (a) encontrar as equações de estado (ou seja, a temperatura l(partial T/partial vr)s ;=;-,l(partial P/partial sr)v, e a pressão em função de e ) e (b) mostrar que vale a relação de Maxwell
O conteúdo é de termodinâmica, em particular:
  1. Definição de temperatura e pressão via derivadas parciais da energia interna.
  2. Relações de Maxwell (igualdade das derivadas mistas).
    Para resolver, só precisamos aplicar essas definições e calcular derivadas parciais simples.

Passo 2

Definições básicas da teoria:
  • Temperatura T ;=;l(partial upartial sr)v, é dada por P ;=;-;l(partial upartial vr)s,
  • Pressão é dada por
Vamos derivar em relação a e a .

Passo 3

Cálculo de u(s,v)=ThetaR,s^2 - R,Thetav0^2,v^2 Longrightarrow partial upartial s =2,ThetaR,s ;;Longrightarrow;; T=2,ThetaR,s :
partial upartial v =-2,R,Thetav0^2,v ;;Longrightarrow;; P=-l(partial upartial vr)s =2,R,Thetav0^2,v
Cálculo de :

Passo 4

Agora a relação de Maxwell:
l(partial Tpartial vr)s =partialpartial vl(2ThetaR,sr)s =0 (porque (s) é constante) é
l(partial Ppartial sr)v =partialpartial sl(2R,Thetav0^2,vr)v =0 (porque (v) é constante) é
Logo
l(partial Tpartial vr)s =0 =-,0 =-,l(partial Ppartial sr)v,
ou seja
l(partial Tpartial vr)s =-,l(partial Ppartial sr)v,
como queríamos mostrar.

Resposta

Temperatura e pressão:
T=2,ThetaR,s, P=2,R,Thetav0^2,v
E satisfaz a relação de Maxwell
l(partial T/partial vr)s =-,l(partial P/partial sr)v

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