Um certo sistema tem as seguintes equações de estado : U=PV e P=BT^2(B>0). Obtenha a relação fundamental para esse sistema ( na representação entrópica ). Explique todos os seus passos claramente, de acordo com a teoria. Qual o significado de uma equação fundamental ?

Passo 1

Beleza, vamos lá!
Enunciado resumido: temos um sistema com duas equações de estado
  1. (com )
Conteúdo da matéria: termodinâmica clássica – identidades termodinâmicas, diferenciais exatas e função entropia .
O que vamos precisar:
  • A identidade fundamental .
  • Escrever e em função de e .
  • Usar e integrar para achar .

Passo 2

Primeiro, expressar P = UV e T = raizPB = raizUB,V em função de e :
  • De vem
  • De temos

Passo 3

Agora montamos a expressão de dS = 1T,dU + PT,dV. A identidade geral é
1T = raizB,VU, PT = U/VraizU/(B,V) = raizB,UV
Substituindo dS = raizB,VU,dU ;+;raizB,UV,dV e S(U,V) = 2raizB,U,V ;+; 2raizB,U,V ;+; S0 = 4raizB,U,V + S0 :
S(U,V) = 4raizB,U,V
Logo
Para achar , integramos termo a termo:
Somando e incluindo constante de integração :
Geralmente a gente põe por convenção, ficando

Passo 4

Significado da equação fundamental: é a função que expressa a entropia (ou energia, dependendo da representação) em termos das variáveis de estado independentes. Ela contém todas as informações termodinâmicas do sistema, pois dela derivamos todas as outras grandezas (temperatura, pressão, potenciais livres etc.).

Resposta

A relação fundamental na representação entrópica é
boxedS(U,V) = 4,raizB,U,V,

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