Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
Um círculo de raio 5 , centrado na origem e orientado no sentido horário.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedir: encontrar as equações paramétricas da curva e conferir o trabalho gerando a curva graficamente.
  • Dados: é um círculo de raio 5, centrado na origem, orientado no sentido horário.
  • Perguntas explícitas a responder:
    1. Quais são as equações paramétricas (x(t),y(t)) que descrevem esse círculo com orientação horário?
    2. Como confirmar graficamente que a parametrização realmente descreve o círculo e tem orientação horário?

Passo 2

Conceito geométrico básico usado (a “aula” curta): usar um ângulo como parâmetro.
  • Um ponto qualquer no círculo de raio R centrado na origem pode ser descrito por um ângulo \theta medido a partir do eixo x. As coordenadas cartesianas em função desse ângulo são
x = R\cos\theta,\qquad y = R\sin\theta.
  • Por que isso dá um círculo? Porque substituindo:
x^{2}+y^{2}=R^{2}\cos^{2}\theta+R^{2}\sin^{2}\theta=R^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=R^{2}.
Assim qualquer (x,y) gerado por essas fórmulas satisfaz x^{2}+y^{2}=R^{2}, a equação do círculo de raio R.

Passo 3

Como controlar a orientação (sentido horário versus anti-horário).
  • A parametrização padrão com \theta aumentando, isto é \theta=t e
x(t)=R\cos t,\qquad y(t)=R\sin t,
faz t aumentar no sentido anti-horário (CCW). Para ver isso, observe os pontos: em t=0 tem (R,0); em t=\tfrac{\pi}{2} tem (0,R) — subiu no eixo y, portanto movimento CCW.
  • Para obter movimento horário (CW) queremos que o ângulo efetivo diminuía quando o parâmetro t aumenta. Uma maneira simples é tomar \theta=-t. Substituindo em x=R\cos\theta, y=R\sin\theta obtemos:
x(t)=R\cos(-t)=R\cos t,\qquad y(t)=R\sin(-t)=-R\sin t.
Portanto a escolha
x(t)=R\cos t,\qquad y(t)=-R\sin t
gera o mesmo círculo mas com t aumentando seguindo o sentido horário.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto (rádio 5).
  • Substituindo R=5 na fórmula encontrada para orientação horário:
x(t)=5\cos t,\qquad y(t)=-5\sin t.
  • Domínio do parâmetro: pode escolher t\in[0,2\pi] para uma volta completa; também vale t\in\mathbb{R} para trajetos repetidos.
  • Verificação rápida por pontos (faça isso mentalmente na prova):
    • t=0\Rightarrow (x,y)=(5,0).
    • t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,-5).
    • t=\pi\Rightarrow (x,y)=(-5,0).
      A sequência (5,0)\to(0,-5)\to(-5,0) corresponde a um movimento que vai para baixo e depois para a esquerda — isto é horário. Isso confirma a orientação.

Passo 5

Verificação através de derivada (entender direção da velocidade).
  • Derivando em relação a t:
\frac{dx}{dt}=-5\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=-5\cos t.
  • Em t=0 a velocidade é \bigl(0,-5\bigr), apontando para baixo a partir de (5,0), então o ponto se desloca para baixo quando t aumenta, ou seja, movimento horário. Boa confirmação analítica da orientação.

Passo 6

Como conferir graficamente (instruções e código pronto para usar).
  • Método prático: plotar (x(t),y(t)) para t em [0,2\pi] e desenhar uma setinha indicando o sentido do percurso.
  • Código exemplo em Python/Matplotlib (copiar e colar num arquivo ou em um notebook):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = 5*np.cos(t)
y = -5*np.sin(t)

plt.figure()
plt.plot(x, y, '-b')               # círculo
# desenhar uma seta para indicar direção
i = 40
plt.arrow(x[i], y[i], x[i+1]-x[i], y[i+1]-y[i],
          head_width=0.3, head_length=0.5, fc='r', ec='r', length_includes_head=True)
plt.gca().set_aspect('equal', 'box')
plt.axhline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.title('Círculo de raio 5 centrado na origem (movimento horário)')
plt.grid(True)
plt.show()
  • O gráfico resultante mostrará o círculo de raio 5 e a seta vermelha indicará o sentido horário. Se a seta apontar para baixo logo à direita de (5,0), a parametrização está correta.

Passo 7

Resumo das alternativas equivalentes (útil na hora da prova).
  • Outra forma equivalente é usar x(t)=5\cos(-t),\\ y(t)=5\sin(-t); mas isso simplifica para a forma acima.
  • Pode também usar uma parametrização deslocada em fase: x(t)=5\cos(t+t_0),\\ y(t)=-5\sin(t+t_0) que desloca o ponto inicial, mantendo sentido horário.

Resposta

x(t)=5\cos t,\quad y(t)=-5\sin t,\quad t\in[0,2\pi]

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