Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
Um círculo de raio 5 , centrado na origem e orientado no sentido horário.
Um círculo de raio 5 , centrado na origem e orientado no sentido horário.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedir: encontrar as equações paramétricas da curva e conferir o trabalho gerando a curva graficamente.
- Dados: é um círculo de raio
, centrado na origem, orientado no sentido horário. - Perguntas explícitas a responder:
- Quais são as equações paramétricas
que descrevem esse círculo com orientação horário? - Como confirmar graficamente que a parametrização realmente descreve o círculo e tem orientação horário?
- Quais são as equações paramétricas
Passo 2
Conceito geométrico básico usado (a “aula” curta): usar um ângulo como parâmetro.
- Um ponto qualquer no círculo de raio
centrado na origem pode ser descrito por um ângulo medido a partir do eixo . As coordenadas cartesianas em função desse ângulo são
- Por que isso dá um círculo? Porque substituindo:
Assim qualquer
gerado por essas fórmulas satisfaz
, a equação do círculo de raio
.
Passo 3
Como controlar a orientação (sentido horário versus anti-horário).
- A parametrização padrão com
aumentando, isto é e
faz
aumentar no sentido anti-horário (CCW). Para ver isso, observe os pontos: em
tem
; em
tem
— subiu no eixo
, portanto movimento CCW.
- Para obter movimento horário (CW) queremos que o ângulo efetivo diminuía quando o parâmetro
aumenta. Uma maneira simples é tomar . Substituindo em , obtemos:
Portanto a escolha
gera o mesmo círculo mas com
aumentando seguindo o sentido horário.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto (rádio
).
- Substituindo
na fórmula encontrada para orientação horário:
- Domínio do parâmetro: pode escolher
para uma volta completa; também vale para trajetos repetidos. - Verificação rápida por pontos (faça isso mentalmente na prova):
-
. -
. -
.
A sequênciacorresponde a um movimento que vai para baixo e depois para a esquerda — isto é horário. Isso confirma a orientação.
-
Passo 5
Verificação através de derivada (entender direção da velocidade).
- Derivando em relação a
:
- Em
a velocidade é , apontando para baixo a partir de , então o ponto se desloca para baixo quando aumenta, ou seja, movimento horário. Boa confirmação analítica da orientação.
Passo 6
Como conferir graficamente (instruções e código pronto para usar).
- Método prático: plotar
para em e desenhar uma setinha indicando o sentido do percurso. - Código exemplo em Python/Matplotlib (copiar e colar num arquivo ou em um notebook):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = 5*np.cos(t)
y = -5*np.sin(t)
plt.figure()
plt.plot(x, y, '-b') # círculo
# desenhar uma seta para indicar direção
i = 40
plt.arrow(x[i], y[i], x[i+1]-x[i], y[i+1]-y[i],
head_width=0.3, head_length=0.5, fc='r', ec='r', length_includes_head=True)
plt.gca().set_aspect('equal', 'box')
plt.axhline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.title('Círculo de raio 5 centrado na origem (movimento horário)')
plt.grid(True)
plt.show()
- O gráfico resultante mostrará o círculo de raio
e a seta vermelha indicará o sentido horário. Se a seta apontar para baixo logo à direita de , a parametrização está correta.
Passo 7
Resumo das alternativas equivalentes (útil na hora da prova).
- Outra forma equivalente é usar
; mas isso simplifica para a forma acima. - Pode também usar uma parametrização deslocada em fase:
que desloca o ponto inicial, mantendo sentido horário.