Escreva equações paramétricas do cilindro circular reto de raio
e altura
que tem centro no eixo
, base no plano
e se prolonga na direção
positivo.
Passo 1
O enunciado pede: escrever equações paramétricas do cilindro circular reto de raio
e altura
com centro no eixo
, base no plano
e que se prolonga na direção positiva do eixo
.
Informações dadas:
- raio do cilindro:
(constante positiva); - altura do cilindro:
(constante positiva); - o eixo do cilindro é o eixo
; - uma base do cilindro está no plano
(ou seja, a base inferior tem ); - o cilindro se estende para
positivo até .
O que se deve fornecer: equações paramétricas (isto é, expressões de
em função de parâmetros) que descrevam o cilindro.
Passo 2
Identificar a equação cartesiana padrão do cilindro lateral. Um cilindro circular reto com eixo
e raio
tem, em coordenadas cartesianas, a equação da seção transversal circular independente de
:
Como a base está em
e a altura é
, os valores de
vão de
até
:
Portanto o conjunto de pontos do cilindro lateral é dado por
Passo 3
Parametrizar a circunferência de raio
no plano
. A forma mais direta é usar o ângulo polar
, que mede a posição ao redor do eixo
. As fórmulas básicas da circunferência de raio
são:
com
variando em um intervalo de comprimento
, por exemplo
.
Por que isso funciona? Porque
, então
que recupera a equação da circunferência.
Passo 4
Juntar a parametrização da circunferência com a coordenada
para obter a parametrização do cilindro lateral. Podemos tomar dois parâmetros independentes: o ângulo
e a altura
(o próprio
serve como parâmetro). Assim, uma parametrização conveniente é a aplicação
com intervalos
Aqui cada par
dá um ponto do cilindro lateral:
percorre a circunferência,
sobe de
até
.
Passo 5
Opções alternativas úteis (para a prova):
- Se quiser parametrizar o cilindro como superfície orientada, a mesma fórmula vale; a orientação pode ser controlada pelo sentido de variação de
(por exemplo, crescente dá orientação no sentido anti-horário visto de cima). - Se, em vez da superfície, precisar do sólido preenchido (o volume do cilindro), introduza o parâmetro radial
e escreva
com intervalos
ou em forma vetorial
Essa parametrização preenche o interior do cilindro.