Escreva equações paramétricas do cilindro circular reto de raio a e altura h que tem centro no eixo z, base no plano x y e se prolonga na direção z positivo.

Passo 1

O enunciado pede: escrever equações paramétricas do cilindro circular reto de raio a e altura h com centro no eixo z, base no plano xy e que se prolonga na direção positiva do eixo z.
Informações dadas:
  • raio do cilindro: a (constante positiva);
  • altura do cilindro: h (constante positiva);
  • o eixo do cilindro é o eixo z;
  • uma base do cilindro está no plano xy (ou seja, a base inferior tem z=0);
  • o cilindro se estende para z positivo até z=h.
O que se deve fornecer: equações paramétricas (isto é, expressões de x,y,z em função de parâmetros) que descrevam o cilindro.

Passo 2

Identificar a equação cartesiana padrão do cilindro lateral. Um cilindro circular reto com eixo z e raio a tem, em coordenadas cartesianas, a equação da seção transversal circular independente de z:
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Como a base está em z=0 e a altura é h, os valores de z vão de 0 até h:
0 \le z \le h.
Portanto o conjunto de pontos do cilindro lateral é dado por
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=a^{2},\;0\le z\le h\}.

Passo 3

Parametrizar a circunferência de raio a no plano xy. A forma mais direta é usar o ângulo polar \theta, que mede a posição ao redor do eixo z. As fórmulas básicas da circunferência de raio a são:
x = a\cos\theta,\qquad y = a\sin\theta,
com \theta variando em um intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo 0 \le \theta < 2\pi.
Por que isso funciona? Porque \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, então
x^{2}+y^{2}=(a\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}=a^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=a^{2},
que recupera a equação da circunferência.

Passo 4

Juntar a parametrização da circunferência com a coordenada z para obter a parametrização do cilindro lateral. Podemos tomar dois parâmetros independentes: o ângulo \theta e a altura z (o próprio z serve como parâmetro). Assim, uma parametrização conveniente é a aplicação
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;z\bigr),
com intervalos
0 \le \theta < 2\pi,\qquad 0 \le z \le h.
Aqui cada par (\theta,z) dá um ponto do cilindro lateral: \theta percorre a circunferência, z sobe de 0 até h.

Passo 5

Opções alternativas úteis (para a prova):
  • Se quiser parametrizar o cilindro como superfície orientada, a mesma fórmula vale; a orientação pode ser controlada pelo sentido de variação de \theta (por exemplo, \theta crescente dá orientação no sentido anti-horário visto de cima).
  • Se, em vez da superfície, precisar do sólido preenchido (o volume do cilindro), introduza o parâmetro radial r e escreva
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
com intervalos
0 \le r \le a,\qquad 0 \le \theta < 2\pi,\qquad 0 \le z \le h,
ou em forma vetorial
\mathbf{R}(r,\theta,z)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\bigr).
Essa parametrização preenche o interior do cilindro.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;z\bigr),\quad 0\le\theta<2\pi,\;0\le z\le h.\n
\displaystyle \text{(Para o sólido)}\quad \mathbf{R}(r,\theta,z)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\bigr),\quad 0\le r\le a,\;0\le\theta<2\pi,\;0\le z\le h.ó

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