Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
O círculo de raio 4 , centrado em ( 1,-3 ), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dão.
  • Pede: encontrar equações paramétricas da curva e conferir a construção gerando a curva graficamente.
  • Dados:
    • raio r = 4,
    • centro (1,-3),
    • orientação no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido positivo de variação do parâmetro).
  • Objetivo final (claro): apresentar x(t) e y(t) que descrevem o círculo, explicar por que funcionam e mostrar como conferir graficamente (com instruções e pontos de verificação).

Passo 2

Ideia básica: parametrize primeiro o círculo unitário centrado na origem.
  • O círculo unitário centrado em (0,0) pode ser descrito por \big(\cos t,\sin t\big) com t variando em [0,2\pi).
  • Explicação didática: para cada ângulo t medido a partir do eixo x positivo, as coordenadas do ponto na circunferência de raio 1 são \cos t (projéção no eixo x) e \sin t (projéção no eixo y). Quando t cresce, o ângulo aumenta no sentido anti-horário, então a parametrização t\mapsto(\cos t,\sin t) descreve o movimento anti-horário.

Passo 3

Ajuste do raio (escala).
  • Se o raio é r, escala-se a parametrização do círculo unitário por r: a parametrização de um círculo de raio r centrado na origem é
\big(r\cos t,\; r\sin t\big).
  • Aqui r é o fator que multiplica as coordenadas; isso “esticará” o círculo unitário até o raio desejado.

Passo 4

Translação para colocar o centro em (h,k).
  • Para um centro geral (h,k) adiciona-se (h,k) às coordenadas:
\big(h + r\cos t,\; k + r\sin t\big).
  • Interpretação das variáveis: h é a abscissa do centro, k é a ordenada do centro, r é o raio e t é o parâmetro angular (ângulo medido desde o eixo x positivo).
  • No nosso caso h = 1, k = -3, r = 4. Substituindo:
\big(1 + 4\cos t,\; -3 + 4\sin t\big).

Passo 5

Escrevendo as equações paramétricas e o intervalo do parâmetro.
  • As equações paramétricas ficam
x(t)=1+4\cos t,
y(t)=-3+4\sin t,
com t\in[0,2\pi) (ou t\in\mathbb{R} com período 2\pi).
  • Observação prática: escolher t de 0 a 2\pi gera exatamente uma volta completa no sentido anti-horário.

Passo 6

Verificação algébrica (confirma que é mesmo o círculo pedido).
  • Calcular a distância ao centro (1,-3). Substituindo as expressões:
(x(t)-1)^2 + (y(t)+3)^2 = \big(4\cos t\big)^2 + \big(4\sin t\big)^2.
  • Desenvolvendo:
\big(4\cos t\big)^2 + \big(4\sin t\big)^2 = 16\cos^2 t + 16\sin^2 t = 16(\cos^2 t + \sin^2 t) = 16.
  • Logo
(x(t)-1)^2 + (y(t)+3)^2 = 16,
que é exatamente a equação cartesiana do círculo de centro (1,-3) e raio \sqrt{16}=4. Portanto a parametrização está correta.

Passo 7

Verificação da orientação (por que é anti-horária).
  • A posição em relação ao centro é dada por \big(4\cos t,\,4\sin t\big), cujo ângulo polar é t. Portanto quando t aumenta, o ângulo aumenta — isso é movimento anti-horário.
  • Uma verificação por derivadas: as componentes da velocidade são
x'(t) = -4\sin t,\qquad y'(t) = 4\cos t.
  • No instante t=0 tem-se x(0)=5, y(0)=-3 e \big(x'(0),y'(0)\big)=(0,4), ou seja, a velocidade aponta para cima a partir da direita do centro — isso confirma que o movimento a partir de t=0 vai para cima, ou seja, no sentido anti-horário.

Passo 8

Checagem por pontos importantes (ajuda a desenhar mentalmente e conferir no gráfico).
  • Para alguns valores de t:
    • t=0: \big(x,y\big)=(1+4\cos 0,\; -3+4\sin 0)=(5,-3).
    • t=\tfrac{\pi}{2}: \big(x,y\big)=(1+4\cdot 0,\; -3+4\cdot 1)=(1,1).
    • t=\pi: \big(x,y\big)=(1+4(-1),\; -3+4\cdot 0)=(-3,-3).
    • t=\tfrac{3\pi}{2}: \big(x,y\big)=(1+0,\; -3-4)=(1,-7).
  • Ordem ao aumentar t de 0 a \tfrac{\pi}{2} a \pi a \tfrac{3\pi}{2} confirma percurso anti-horário: direita → cima → esquerda → baixo.

Passo 9

Como gerar a curva graficamente (receita prática).
  • Exemplo em Python com Matplotlib (copia e cole no seu ambiente Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = 1 + 4*np.cos(t)
y = -3 + 4*np.sin(t)

plt.figure(figsize=(5,5))
plt.plot(x, y, '-b')
plt.plot(1, -3, 'ro')               # centro
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.title('Círculo: centro (1,-3), raio 4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
  • O gráfico resultante mostra a circunferência centrada em (1,-3) com raio 4. A opção plt.axis('equal') assegura que os eixos tenham mesma escala para não distorcer o círculo.
  • Se preferir usar uma calculadora gráfica ou outro software (GeoGebra, WolframAlpha, etc.), inserir as equações paramétricas x(t)=1+4\cos t,\; y(t)=-3+4\sin t para t\in[0,2\pi] gera a curva. Também é possível inserir a equação cartesiana (x-1)^2+(y+3)^2=16.

Resposta

x(t)=1+4\cos t
y(t)=-3+4\sin t , \;t\in[0,2\pi)

Exercícios relacionados