Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
O círculo de raio 4 , centrado em (
), orientado no sentido anti-horário.
O círculo de raio 4 , centrado em (
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dão.
- Pede: encontrar equações paramétricas da curva e conferir a construção gerando a curva graficamente.
- Dados:
- raio
, - centro
, - orientação no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido positivo de variação do parâmetro).
- raio
- Objetivo final (claro): apresentar
e que descrevem o círculo, explicar por que funcionam e mostrar como conferir graficamente (com instruções e pontos de verificação).
Passo 2
Ideia básica: parametrize primeiro o círculo unitário centrado na origem.
- O círculo unitário centrado em
pode ser descrito por com variando em . - Explicação didática: para cada ângulo
medido a partir do eixo positivo, as coordenadas do ponto na circunferência de raio são (projéção no eixo ) e (projéção no eixo ). Quando cresce, o ângulo aumenta no sentido anti-horário, então a parametrização descreve o movimento anti-horário.
Passo 3
Ajuste do raio (escala).
- Se o raio é
, escala-se a parametrização do círculo unitário por : a parametrização de um círculo de raio centrado na origem é
- Aqui
é o fator que multiplica as coordenadas; isso “esticará” o círculo unitário até o raio desejado.
Passo 4
Translação para colocar o centro em
.
- Para um centro geral
adiciona-se às coordenadas:
- Interpretação das variáveis:
é a abscissa do centro, é a ordenada do centro, é o raio e é o parâmetro angular (ângulo medido desde o eixo positivo). - No nosso caso
, , . Substituindo:
Passo 5
Escrevendo as equações paramétricas e o intervalo do parâmetro.
- As equações paramétricas ficam
com
(ou
com período
).
- Observação prática: escolher
de a gera exatamente uma volta completa no sentido anti-horário.
Passo 6
Verificação algébrica (confirma que é mesmo o círculo pedido).
- Calcular a distância ao centro
. Substituindo as expressões:
- Desenvolvendo:
- Logo
que é exatamente a equação cartesiana do círculo de centro
e raio
. Portanto a parametrização está correta.
Passo 7
Verificação da orientação (por que é anti-horária).
- A posição em relação ao centro é dada por
, cujo ângulo polar é . Portanto quando aumenta, o ângulo aumenta — isso é movimento anti-horário. - Uma verificação por derivadas: as componentes da velocidade são
- No instante
tem-se , e , ou seja, a velocidade aponta para cima a partir da direita do centro — isso confirma que o movimento a partir de vai para cima, ou seja, no sentido anti-horário.
Passo 8
Checagem por pontos importantes (ajuda a desenhar mentalmente e conferir no gráfico).
- Para alguns valores de
: -
. -
. -
. -
.
-
- Ordem ao aumentar
de a a a confirma percurso anti-horário: direita → cima → esquerda → baixo.
Passo 9
Como gerar a curva graficamente (receita prática).
- Exemplo em Python com Matplotlib (copia e cole no seu ambiente Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = 1 + 4*np.cos(t)
y = -3 + 4*np.sin(t)
plt.figure(figsize=(5,5))
plt.plot(x, y, '-b')
plt.plot(1, -3, 'ro') # centro
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.title('Círculo: centro (1,-3), raio 4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
- O gráfico resultante mostra a circunferência centrada em
com raio . A opção plt.axis('equal')assegura que os eixos tenham mesma escala para não distorcer o círculo. - Se preferir usar uma calculadora gráfica ou outro software (GeoGebra, WolframAlpha, etc.), inserir as equações paramétricas
para gera a curva. Também é possível inserir a equação cartesiana .