Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
A parte do círculo
que está no terceiro quadrante orientada no sentido anti-horário.
A parte do círculo
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as equações paramétricas da porção do círculo
que está no terceiro quadrante e que essa porção seja orientada no sentido anti-horário. Informações dadas e o que é pedido:
- Curva:
(circunferência de raio centrada na origem). - Região da curva: a parte que está no terceiro quadrante, isto é, os pontos com
e . - Orientação desejada: sentido anti-horário (sentido positivo usual dos ângulos).
- Pedido: fornecer equações paramétricas
que descrevam exatamente essa porção e respeitem a orientação indicada, e conferir o trabalho gerando a curva graficamente.
Passo 2
Ideia básica para parametrizar uma circunferência: qualquer ponto da circunferência unitária pode ser escrito usando um ângulo
medido desde o eixo
positivo:
Explicação do porquê: para um ponto na circunferência de raio
com ângulo
, a projeção sobre o eixo
é
e sobre o eixo
é
. Aqui
é o parâmetro que corresponde ao ângulo polar do ponto.
Passo 3
Determinar o intervalo de
que corresponde ao terceiro quadrante. Lembrando a convenção de ângulos (em radianos):
- Primeiro quadrante:
com . - Segundo quadrante:
com . - Terceiro quadrante:
com . - Quarto quadrante:
com .
Portanto, os ângulos que produzem pontos com
e
são aqueles em
. Para incluir as extremidades da porção na união com os eixos, usa-se o intervalo fechado
; se o enunciado exigir estritamente somente pontos com
(sem eixos) poderia usar
. Aqui vou usar o intervalo fechado porque é padrão incluir as pontas.
Passo 4
Garantir a orientação anti-horária: na parametrização
, aumentar
corresponde a percorrer a circunferência no sentido anti-horário (sentido positivo). Logo, para que a porção do terceiro quadrante seja percorrida anti-horariamente, tomo
variando de
até
com
crescente.
Assim a parametrização final natural é
Passo 5
Verificações pontuais (para checar que realmente descreve o arco certo e a orientação):
- Em
: . É a extremidade esquerda da circunferência (é o ponto limite no eixo negativo ). - Em
: . É a extremidade inferior (ponto no eixo negativo ). - Um ponto no meio do intervalo, por exemplo
: , que tem e (está no terceiro quadrante). - Outro exemplo
: , também no terceiro quadrante.
Esses pontos mostram que a parametrização cobre corretamente o arco dentro do terceiro quadrante e que ao aumentar
vai de
para
passando por pontos com
, ou seja, no sentido anti-horário.
Passo 6
Verificação da orientação pelo vetor tangente: calcule a derivada em relação a
:
Em qualquer
temos
e
, então
Isto significa que o vetor tangente aponta para a direita e para baixo (componentes
), o que corresponde exatamente ao movimento de um ponto no arco quando
aumenta: vai-se da esquerda em direção à parte inferior, confirmando a orientação anti-horária desejada.
Passo 7
Como conferir graficamente (instruções rápidas para recursos comuns):
- Em Desmos: insira a expressão paramétrica
e defina o domínio de como . - Em GeoGebra (vista paramétrica): plote
com . - Em Python/Matplotlib: usar um vetor de
igualmente espaçado em , calcular e plotar. Pontos de verificação que se deve ver no gráfico: extremidades em e , curva passando por pontos com e o sentido do percurso de para quando o parâmetro aumenta.
Faça esse gráfico agora no recurso de sua preferência para “conferir” — os exemplos numéricos das contas anteriores servem como checagem manual dos pontos.
Passo 8
Resumo e incentivo: então a forma mais direta, correta e padrão para essa tarefa é usar o parâmetro ângulo
com as funções trigonométricas clássicas e o intervalo
. Se quiser, depois eu posso te dar o mini-código em Python pronto para copiar e colar ou um link passo a passo para Desmos; vai te ajudar a checar rapidinho no gráfico — me fala se quer isso que eu já te mostro (mas sem pedir nada eu te dei as instruções básicas acima). Força, você já tem a parametrização e todas as verificações para a prova!