Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
A parte do círculo x^{2}+y^{2}=1 que está no terceiro quadrante orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as equações paramétricas da porção do círculo x^{2}+y^{2}=1 que está no terceiro quadrante e que essa porção seja orientada no sentido anti-horário. Informações dadas e o que é pedido:
  • Curva: x^{2}+y^{2}=1 (circunferência de raio 1 centrada na origem).
  • Região da curva: a parte que está no terceiro quadrante, isto é, os pontos com x<0 e y<0.
  • Orientação desejada: sentido anti-horário (sentido positivo usual dos ângulos).
  • Pedido: fornecer equações paramétricas (x(t),y(t)) que descrevam exatamente essa porção e respeitem a orientação indicada, e conferir o trabalho gerando a curva graficamente.

Passo 2

Ideia básica para parametrizar uma circunferência: qualquer ponto da circunferência unitária pode ser escrito usando um ângulo \theta medido desde o eixo x positivo:
x(\theta)=\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta.
Explicação do porquê: para um ponto na circunferência de raio 1 com ângulo \theta, a projeção sobre o eixo x é \cos\theta e sobre o eixo y é \sin\theta. Aqui \theta é o parâmetro que corresponde ao ângulo polar do ponto.

Passo 3

Determinar o intervalo de \theta que corresponde ao terceiro quadrante. Lembrando a convenção de ângulos (em radianos):
  • Primeiro quadrante: \theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right) com x>0,y>0.
  • Segundo quadrante: \theta\in\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right) com x<0,y>0.
  • Terceiro quadrante: \theta\in\left(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right) com x<0,y<0.
  • Quarto quadrante: \theta\in\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right) com x>0,y<0.
Portanto, os ângulos que produzem pontos com x<0 e y<0 são aqueles em \left(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right). Para incluir as extremidades da porção na união com os eixos, usa-se o intervalo fechado [\pi,\tfrac{3\pi}{2}]; se o enunciado exigir estritamente somente pontos com x<0,y<0 (sem eixos) poderia usar \left(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right). Aqui vou usar o intervalo fechado porque é padrão incluir as pontas.

Passo 4

Garantir a orientação anti-horária: na parametrização \theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta), aumentar \theta corresponde a percorrer a circunferência no sentido anti-horário (sentido positivo). Logo, para que a porção do terceiro quadrante seja percorrida anti-horariamente, tomo \theta variando de \pi até \tfrac{3\pi}{2} com \theta crescente.
Assim a parametrização final natural é
x(\theta)=\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta,\qquad \theta\in\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right].

Passo 5

Verificações pontuais (para checar que realmente descreve o arco certo e a orientação):
  • Em \theta=\pi: (x,y)=\big(\cos\pi,\sin\pi\big)=(-1,0). É a extremidade esquerda da circunferência (é o ponto limite no eixo negativo x).
  • Em \theta=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=\big(\cos\tfrac{3\pi}{2},\sin\tfrac{3\pi}{2}\big)=(0,-1). É a extremidade inferior (ponto no eixo negativo y).
  • Um ponto no meio do intervalo, por exemplo \theta=\tfrac{5\pi}{4}: (x,y)=\big(\cos\tfrac{5\pi}{4},\sin\tfrac{5\pi}{4}\big)=\big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big), que tem x<0 e y<0 (está no terceiro quadrante).
  • Outro exemplo \theta=\tfrac{4\pi}{3}: (x,y)=\big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big), também no terceiro quadrante.
Esses pontos mostram que a parametrização cobre corretamente o arco dentro do terceiro quadrante e que ao aumentar \theta vai de ( -1,0) para (0,-1) passando por pontos com x<0,y<0, ou seja, no sentido anti-horário.

Passo 6

Verificação da orientação pelo vetor tangente: calcule a derivada em relação a \theta:
x'(\theta)=-\sin\theta,\qquad y'(\theta)=\cos\theta.
Em qualquer \theta\in\left(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right) temos \sin\theta<0 e \cos\theta<0, então
x'(\theta)=-\sin\theta>0,\qquad y'(\theta)=\cos\theta<0.
Isto significa que o vetor tangente aponta para a direita e para baixo (componentes (+\,, -)), o que corresponde exatamente ao movimento de um ponto no arco quando \theta aumenta: vai-se da esquerda em direção à parte inferior, confirmando a orientação anti-horária desejada.

Passo 7

Como conferir graficamente (instruções rápidas para recursos comuns):
  • Em Desmos: insira a expressão paramétrica \big(\cos t,\sin t\big) e defina o domínio de t como [\,\pi,\,3\pi/2\,].
  • Em GeoGebra (vista paramétrica): plote x(t)=\cos t,\;y(t)=\sin t com t\in[\pi,3\pi/2].
  • Em Python/Matplotlib: usar um vetor de \theta igualmente espaçado em [\pi,3\pi/2], calcular \cos\theta,\sin\theta e plotar. Pontos de verificação que se deve ver no gráfico: extremidades em (-1,0) e (0,-1), curva passando por pontos com x<0,y<0 e o sentido do percurso de (-1,0) para (0,-1) quando o parâmetro aumenta.
Faça esse gráfico agora no recurso de sua preferência para “conferir” — os exemplos numéricos das contas anteriores servem como checagem manual dos pontos.

Passo 8

Resumo e incentivo: então a forma mais direta, correta e padrão para essa tarefa é usar o parâmetro ângulo \theta com as funções trigonométricas clássicas e o intervalo [\pi,\tfrac{3\pi}{2}]. Se quiser, depois eu posso te dar o mini-código em Python pronto para copiar e colar ou um link passo a passo para Desmos; vai te ajudar a checar rapidinho no gráfico — me fala se quer isso que eu já te mostro (mas sem pedir nada eu te dei as instruções básicas acima). Força, você já tem a parametrização e todas as verificações para a prova!

Resposta

x(\theta)=\cos\theta,\quad y(\theta)=\sin\theta,\quad \theta\in\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right]

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