Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
A elipse
, orientada no sentido anti-horário.
A elipse
Passo 1
O enunciado pede: encontrar equações paramétricas da curva definida por
e depois conferir o trabalho gerando a curva com um recurso gráfico. Informações dadas:
- A curva é a elipse com equação
. - A elipse está centrada na origem.
- Os semieixos são: ao longo de
tem comprimento (porque ) e ao longo de tem comprimento (porque ). - A orientação pedida é no sentido anti-horário (sentido crescente de um parâmetro).
Passo 2
Ideia padrão para parametricamente representar uma elipse alinhada com os eixos: usar as funções seno e cosseno. Vou explicar o porquê de forma simples e didática.
- Para um círculo unitário centrado na origem a representação clássica é
com
variando em
. Isso porque
, então a relação do círculo
fica satisfeita.
- Para uma elipse com semieixos
(no eixo ) e (no eixo ), basta “esticarmos” o círculo: tomamos
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é o parâmetro (um ângulo fictício) que varia normalmente em . À medida que cresce, o ponto anda ao longo da curva. -
é o semieixo horizontal (tamanho máximo em ). -
é o semieixo vertical (tamanho máximo em ). -
Por que essa escolha funciona? Substituindo em
temos
então o par
sempre satisfaz a equação da elipse.
Passo 3
Aplicando ao caso dado, com
e
, escolhemos as equações paramétricas
com
. Verificação algébrica direta (substituição na equação dada):
Portanto a parametrização gera exatamente a elipse pedida.
Passo 4
Agora confirmamos a orientação (anti-horário) verificando o sentido de movimento quando
cresce.
- Cálculo da velocidade (derivadas em relação a
):
- Observação prática: em
o ponto está em e a velocidade é , ou seja, aponta para cima (eixo positivo). Isso significa que, partindo da ponta direita da elipse e aumentando um pouco, o ponto sobe — comportamento característico de movimento no sentido anti-horário. - Outro modo de ver: para pequeno
temos ligeiramente menor que (logo diminui) e (logo aumenta). Diminuir e aumentar a partir de corresponde a mover-se para cima e à esquerda ao redor do elipse — isto é movimento anti-horário.
Assim a parametrização
crescente; produz exatamente a elipse percorrida no sentido anti-horário.
Passo 5
Conferência gráfica: vou dar dois jeitos práticos de gerar a curva em um recurso gráfico (pode copiar e colar).
- Código em Python (matplotlib). Copie e execute num ambiente Python com numpy e matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = 2*np.cos(t)
y = 3*np.sin(t)
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x, y, '-b', label='elipse')
plt.plot([ -2, 2],[0,0],':k',linewidth=0.8) # eixo x
plt.plot([0,0],[-3,3],':k',linewidth=0.8) # eixo y
plt.scatter([2,0,-2,0],[0,3,0,-3], color='red') # vértices
plt.axis('equal')
plt.title('Elipse x^2/4 + y^2/9 = 1 (param: x=2 cos t, y=3 sin t)')
plt.legend()
plt.show()
Esse gráfico mostra a elipse fechada e, se quiser ver a orientação, pode plotar setas ao longo dos pontos (ou animar para ver
crescente).
- Em Desmos (ferramenta online): use a expressão paramétrica
x(t) = 2 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)
t in [0, 2π]
ou desenhe implicitamente
. Em Desmos defina um slider para
e mova-o para ver a orientação anti-horária.
Passo 6
Resumo com alguns pontos chamativos (para checar à mão): para
obtemos
Esses pontos confirmam a forma e a volta completa no sentido anti-horário.