Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
A elipse x^{2} / 4+y^{2} / 9=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar equações paramétricas da curva definida por x^{2}/4+y^{2}/9=1 e depois conferir o trabalho gerando a curva com um recurso gráfico. Informações dadas:
  • A curva é a elipse com equação \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1.
  • A elipse está centrada na origem.
  • Os semieixos são: ao longo de x tem comprimento a=2 (porque 4=a^{2}) e ao longo de y tem comprimento b=3 (porque 9=b^{2}).
  • A orientação pedida é no sentido anti-horário (sentido crescente de um parâmetro).

Passo 2

Ideia padrão para parametricamente representar uma elipse alinhada com os eixos: usar as funções seno e cosseno. Vou explicar o porquê de forma simples e didática.
  • Para um círculo unitário centrado na origem a representação clássica é
x=\cos t,\qquad y=\sin t,
com t variando em [0,2\pi]. Isso porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, então a relação do círculo \;x^{2}+y^{2}=1\; fica satisfeita.
  • Para uma elipse com semieixos a (no eixo x) e b (no eixo y), basta “esticarmos” o círculo: tomamos
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • t é o parâmetro (um ângulo fictício) que varia normalmente em [0,2\pi]. À medida que t cresce, o ponto anda ao longo da curva.
  • a é o semieixo horizontal (tamanho máximo em x).
  • b é o semieixo vertical (tamanho máximo em y).
  • Por que essa escolha funciona? Substituindo em \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} temos
\dfrac{(a\cos t)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(b\sin t)^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
então o par (x,y) sempre satisfaz a equação da elipse.

Passo 3

Aplicando ao caso dado, com a=2 e b=3, escolhemos as equações paramétricas
x=2\cos t,\qquad y=3\sin t,
com t\in[0,2\pi]. Verificação algébrica direta (substituição na equação dada):
\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9} = \dfrac{(2\cos t)^{2}}{4}+\dfrac{(3\sin t)^{2}}{9} = \cos^{2}t+\sin^{2}t = 1.
Portanto a parametrização gera exatamente a elipse pedida.

Passo 4

Agora confirmamos a orientação (anti-horário) verificando o sentido de movimento quando t cresce.
  • Cálculo da velocidade (derivadas em relação a t):
\dfrac{dx}{dt} = -2\sin t,\qquad \dfrac{dy}{dt} = 3\cos t.
  • Observação prática: em t=0 o ponto está em (x,y)=(2,0) e a velocidade é (dx/dt,dy/dt)=(0,3), ou seja, aponta para cima (eixo y positivo). Isso significa que, partindo da ponta direita da elipse (2,0) e aumentando t um pouco, o ponto sobe — comportamento característico de movimento no sentido anti-horário.
  • Outro modo de ver: para pequeno t>0 temos \cos t ligeiramente menor que 1 (logo x diminui) e \sin t>0 (logo y aumenta). Diminuir x e aumentar y a partir de (2,0) corresponde a mover-se para cima e à esquerda ao redor do elipse — isto é movimento anti-horário.
Assim a parametrização \;x=2\cos t,\;y=3\sin t,\;t crescente; produz exatamente a elipse percorrida no sentido anti-horário.

Passo 5

Conferência gráfica: vou dar dois jeitos práticos de gerar a curva em um recurso gráfico (pode copiar e colar).
  1. Código em Python (matplotlib). Copie e execute num ambiente Python com numpy e matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = 2*np.cos(t)
y = 3*np.sin(t)

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x, y, '-b', label='elipse')
plt.plot([ -2, 2],[0,0],':k',linewidth=0.8)  # eixo x
plt.plot([0,0],[-3,3],':k',linewidth=0.8)  # eixo y
plt.scatter([2,0,-2,0],[0,3,0,-3], color='red')  # vértices
plt.axis('equal')
plt.title('Elipse x^2/4 + y^2/9 = 1 (param: x=2 cos t, y=3 sin t)')
plt.legend()
plt.show()
Esse gráfico mostra a elipse fechada e, se quiser ver a orientação, pode plotar setas ao longo dos pontos (ou animar para ver t crescente).
  1. Em Desmos (ferramenta online): use a expressão paramétrica
x(t) = 2 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)
t in [0, 2π]
ou desenhe implicitamente x^{2}/4+y^{2}/9=1. Em Desmos defina um slider para t e mova-o para ver a orientação anti-horária.

Passo 6

Resumo com alguns pontos chamativos (para checar à mão): para t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi obtemos
t=0 \Rightarrow (x,y)=(2,0),
t=\tfrac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=(0,3),
t=\pi \Rightarrow (x,y)=(-2,0),
t=\tfrac{3\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=(0,-3),
t=2\pi \Rightarrow (x,y)=(2,0).
Esses pontos confirmam a forma e a volta completa no sentido anti-horário.

Resposta

x=2\cos t,\; y=3\sin t,\; t\in[0,2\pi]

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