Encontre as equações paramétricas da curva que é uma reta vertical que intersecta o eixo x em x=2, orientada para cima.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar equações paramétricas da curva que é uma reta vertical que intersecta o eixo x em x=2 e que está orientada para cima.
Informações dadas:
  • A curva é uma reta vertical com todas as abscissas iguais a 2.
  • A reta intersecta o eixo x em x=2, ou seja a coordenada x é sempre 2.
  • A orientação “para cima” significa que, ao aumentar o parâmetro, a coordenada y deve aumentar.

Passo 2

O que são equações paramétricas? Uma curva no plano pode ser descrita por duas funções de um parâmetro t: x=x(t) e y=y(t). Ao variar t num certo conjunto (normalmente t\in\mathbb{R} ou num intervalo), os pontos (x(t),y(t)) percorrem a curva. O vetor posição pode ser escrito como \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle.

Passo 3

Para a reta vertical dada temos a restrição clara para todas as posições na curva:
x=2.
Isso já diz que a função x(t) deve ser constante igual a 2 para todo t:
x(t)=2\quad\text{para todo }t.

Passo 4

Agora falta escolher y(t). Como a reta vertical contém todos os valores de y (normalmente toda a reta y\in\mathbb{R}), a escolha mais simples e direta é usar o próprio parâmetro como a coordenada y:
y(t)=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Com essa escolha, quando t aumenta, y(t) aumenta — portanto a orientação é para cima, como pedido.

Passo 5

Verificação (rápida e didática): escrevendo em forma vetorial
\mathbf{r}(t)=\langle 2,\,t\rangle.
A derivada é
\mathbf{r}'(t)=\langle 0,\,1\rangle,
que aponta na direção positiva do eixo y — isto confirma que, conforme t cresce, o movimento é para cima.

Passo 6

Observações e alternativas úteis para a prova:
  • Qualquer parametrização do tipo
x(t)=2,\qquad y(t)=a t + b,
com a>0 e t variando em \mathbb{R} também descreve a mesma reta com orientação para cima (a constante b apenas desloca a origem do parâmetro).
  • Se a<0 a orientação seria para baixo (não desejada aqui).
  • Pode-se restringir t a um intervalo se só for necessário uma porção da reta (por exemplo t\in[0,1] dá o segmento entre y=0 e y=1).

Resposta

x(t)=2,\quad y(t)=t,\quad t\in\mathbb{R}

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