Suponha que uma abelha percorra a trajetória
x=t-2 cos t, y=2-2 sen t, 0 <= t <= 10
a) Em quais instantes a abelha estava voando horizontalmente?
b) Em quais instantes a abelha estava voando verticalmente?

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória paramétrica de uma abelha: as funções x(t)=t-2cos t e y(t)=2-2sin t para 0<= t<=10. O conteúdo aqui é cinemática vetorial (trajetória no plano) e vamos precisar calcular as derivadas dx/dt e dy/dt para identificar quando a velocidade tem componente vertical ou horizontal nula.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas das componentes da posição em relação a t. Como x(t)=t-2cos t e usamos d(cos t)/dt=-sin t, temos
dxdt=1-2,( -sin t)=1+2sin t
E como y(t)=2-2sin t e d(sin t)/dt=cos t, fica
dydt=-2cos t

Passo 3

Para voar horizontalmente a componente vertical da velocidade deve ser zero, ou seja dy/dt=0. Assim:
-2cos t=0Longrightarrowcos t=0
As soluções são t=pi/2+pi k. No intervalo [0,10] isso dá
t=pi/2,3pi/2,5pi/2
e nesses instantes dx/dt=1+2sin t não zera, confirmando voo horizontal.

Passo 4

Para voar verticalmente a componente horizontal da velocidade deve ser zero, ou seja dx/dt=0. Assim:
1+2sin t=0Longrightarrowsin t=-tfrac12
Isso ocorre em t=7pi/6+2pi k e t=11pi/6+2pi k. Dentro de [0,10] obtemos
t=7pi/6,11pi/6,7pi/6+2pi=19pi/6
e nesses valores dy/dt=-2cos t também não zera, garantindo voo vertical.

Resposta

a) Horizontalmente em t=\pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2
b) Verticalmente em t=7\pi/6, 11\pi/6, 19\pi/6

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