Calcule a integral tripla integral triplaG(x^2+y^2+z^2) d V, onde G é a caixa retangular definida pelas desigualdades 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaG(x^2+y^2+z^2),dV, onde G é o cubo unitário definido por 0<= x,y,z<=1. O conteúdo aqui é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar usar a propriedade de linearidade da integral e a separação de variáveis em integrais iteradas.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
integral triplaG(x^2+y^2+z^2),dV = integral triplaGx^2,dV + integral triplaGy^2,dV + integral triplaGz^2,dV

Passo 3

Agora vamos calcular integral triplaGx^2,dV por integração iterada. Como G=[0,1]times[0,1]times[0,1], temos
integral triplaGx^2,dV = integral0^1integral0^1integral0^1x^2,dx,dy,dz = l(integral0^1x^2,dxr)l(integral0^1dyr)l(integral0^1dzr)

Passo 4

Calculando cada uma,
integral0^1x^2,dx = x^33|0^1 = 13, integral0^1dy = 1, integral0^1dz = 1

Passo 5

Logo
integral triplaGx^2,dV = 13

Passo 6

Pelos mesmos cálculos (e pela simetria entre x, y e z),
integral triplaGy^2,dV = 13, integral triplaGz^2,dV = 13

Passo 7

Somando tudo,
integral triplaG(x^2+y^2+z^2),dV = 13 + 13 + 13 = 1

Resposta

1

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