Calcule a integral tripla , onde é a caixa retangular definida pelas desigualdades e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde é o cubo unitário definido por . O conteúdo aqui é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar usar a propriedade de linearidade da integral e a separação de variáveis em integrais iteradas.
Passo 2
Pela linearidade da integral, escrevemos
Passo 3
Agora vamos calcular por integração iterada. Como , temos
Passo 4
Calculando cada uma,
Passo 5
Logo
integral triplaGx^2,dV = 13
Passo 6
Pelos mesmos cálculos (e pela simetria entre x, y e z),
integral triplaGy^2,dV = 13, integral triplaGz^2,dV = 13
Passo 7
Somando tudo,
integral triplaG(x^2+y^2+z^2),dV = 13 + 13 + 13 = 1